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由 f(xn) 收敛能否反推 xn 收敛？严格单调下的两个定理

何时由 f(xₙ) 收敛能反推 xₙ 收敛？整理两条严格单调下的定理——有限区间靠 xₙ 自动有界，无限区间需 f 在无穷远处趋向 ±∞，否则会被 arctan 反例打破。

由 f(xn)f(x_n) 收敛反推 xnx_n 收敛

定理 1：有界情形下可以反推

定理 1：设区间 II 上 f(x)f(x) 严格单调，{xn}⊂I\{x_n\}\subset I。若 {f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛且 {xn}\{x_n\} 有界，则 {xn}\{x_n\} 收敛。

证明：{xn}\{x_n\} 有界，故必存在收敛子列。下面证明它只能有一个子列极限。

反设 {xn}\{x_n\} 有两个不同的子列极限 α<β\alpha<\beta，即存在两个子列 xnk→αx_{n_k}\to\alpha、xmk→βx_{m_k}\to\beta。任取 cc 满足 α<c<β\alpha<c<\beta，则 kk 充分大时

xnk<c<xmk.x_{n_k}<c<x_{m_k}.

若 ff 严格递增，则 f(xnk)<f(c)<f(xmk)f(x_{n_k})<f(c)<f(x_{m_k})；若 ff 严格递减，则 f(xnk)>f(c)>f(xmk)f(x_{n_k})>f(c)>f(x_{m_k})。两种情况下 {f(xnk)}\{f(x_{n_k})\} 与 {f(xmk)}\{f(x_{m_k})\} 都被 f(c)f(c) 严格分隔，不可能同时收敛到同一个极限。

但题设给出 {f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛，其任意子列必收敛到同一极限——矛盾。故 {xn}\{x_n\} 只能有一个子列极限。又 {xn}\{x_n\} 有界且只有一个子列极限，所以 {xn}\{x_n\} 收敛。■\blacksquare

定理 2：无限区间上的推广

定理 2：设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上严格单调，{xn}⊂[a,+∞)\{x_n\}\subset[a,+\infty)。若 {f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛，且 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty 或 lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty，则 {xn}\{x_n\} 收敛。

证明：{f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛蕴含其有界。先证 {xn}\{x_n\} 有界。

反设 {xn}\{x_n\} 无界。因 xn∈[a,+∞)x_n\in[a,+\infty)，故可取子列 xnk→+∞x_{n_k}\to+\infty。于是

lim⁡x→+∞f(x)=+∞ ⟹ f(xnk)→+∞;lim⁡x→+∞f(x)=−∞ ⟹ f(xnk)→−∞.\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_{n_k})\to+\infty;\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_{n_k})\to-\infty.

两种情况都说明 {f(xnk)}\{f(x_{n_k})\} 无界——但它是收敛数列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 的子列，必有界，矛盾。故 {xn}\{x_n\} 有界。

由定理 1 即得 {xn}\{x_n\} 收敛。■\blacksquare

反例：无限区间上不能直接推广

取 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x、xn=nx_n=n。则 ff 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上严格单调（递增）且一一对应，但

f(xn)=arctan⁡n→π2,xn=n→+∞.f(x_n)=\arctan n\to\frac{\pi}{2},\qquad x_n=n\to+\infty.

即 {f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛而 {xn}\{x_n\} 不收敛。

根源：f(x)f(x) 在无穷远处存在有限极限（即有水平渐近线 y=π2y=\dfrac{\pi}{2}），所以 xn→+∞x_n\to+\infty 仍可对应 f(xn)→π2f(x_n)\to\dfrac{\pi}{2}。

记忆版结论

  • 有限区间：{xn}\{x_n\} 自动有界，故由 {f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛可直接推出 {xn}\{x_n\} 收敛。
  • 无限区间：不能直接推出。必须额外补充下列之一：
    • {xn}\{x_n\} 有界；
    • ff 在无穷远处不趋向有限数，即 lim⁡x→+∞f(x)=±∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty（即没有水平渐近线）。

这样才能排除 xn→+∞x_n\to+\infty 但 f(xn)f(x_n) 仍收敛的情形。

真题应用：2024 数二例 1.78

选择题2024 数二例 1.78

已知数列 {an}\{a_n\}（an≠0a_n\neq 0），若 {an}\{a_n\} 发散，则（\quad）。

  • A {an+1an}\left\{a_n+\dfrac{1}{a_n}\right\} 发散
  • B {an−1an}\left\{a_n-\dfrac{1}{a_n}\right\} 发散
  • C {ean+1ean}\left\{e^{a_n}+\dfrac{1}{e^{a_n}}\right\} 发散
  • D {ean−1ean}\left\{e^{a_n}-\dfrac{1}{e^{a_n}}\right\} 发散
解答

核心思路：把每个选项写成 f(an)f(a_n) 的形式，再用本文定理的逆否命题逐项核对。

ff 在某个区间上严格单调，且 lim⁡x→±∞f(x)=±∞\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty ⇒\Rightarrow（ana_n 发散 ⇒\Rightarrow f(an)f(a_n) 发散）。

反过来说，不满足定理条件的 ff 就无法保证 f(an)f(a_n) 发散——该选项即为错误答案。

方法 1：直接套定理判别

对每个选项核对 ff 是否满足”单一区间上严格单调 + 在无穷远处发散”。

选项f(x)f(x)严格单调？lim⁡x→±∞f\lim_{x\to\pm\infty}f？结论
(A)x+1xx+\dfrac{1}{x}(0,+∞)(0,+\infty) 上有极小 f(1)=2f(1)=2，非单调—✗ 不满足，舍
(B)x−1xx-\dfrac{1}{x}在 (−∞,0)(-\infty,0)、(0,+∞)(0,+\infty) 各自严格递增，但定义域不连通，整体非”单一区间上严格单调”—✗ 不满足，舍
(C)ex+e−xe^x+e^{-x}f′(x)=ex−e−xf'(x)=e^x-e^{-x} 在 x=0x=0 处变号，非单调—✗ 不满足，舍
(D)ex−e−xe^x-e^{-x}f′(x)=ex+e−x>0f'(x)=e^x+e^{-x}>0，R\mathbb{R} 上严格递增lim⁡x→+∞f=+∞\lim_{x\to+\infty}f=+\infty，lim⁡x→−∞f=−∞\lim_{x\to-\infty}f=-\infty✓ 满足

(D) 的 f(x)=2sinh⁡xf(x)=2\sinh x 完全契合定理 2：在整个 R\mathbb{R} 上严格单调且在两端发散。由逆否命题，{an}\{a_n\} 发散 ⇒\Rightarrow {ean−e−an}\{e^{a_n}-e^{-a_n}\} 发散。

故选 (D)。

方法 2：对错项构造反例验证

为确认前三项确实”不一定发散”，分别构造**{an}\{a_n\} 发散但 {f(an)}\{f(a_n)\} 收敛**的反例：

  • (A) 取 an=2,12,2,12,…a_n=2,\tfrac12,2,\tfrac12,\dots：{an}\{a_n\} 在 22 与 12\tfrac12 之间振荡发散，但 an+1an≡52a_n+\dfrac{1}{a_n}\equiv\dfrac{5}{2}，收敛。
  • (B) 取 an=1,−1,1,−1,…a_n=1,-1,1,-1,\dots：{an}\{a_n\} 发散，但 an−1an≡0a_n-\dfrac{1}{a_n}\equiv 0，收敛。
  • (C) 取 an=1,−1,1,−1,…a_n=1,-1,1,-1,\dots：{an}\{a_n\} 发散，但 ean+e−an≡e+e−1e^{a_n}+e^{-a_n}\equiv e+e^{-1}，收敛。

三个反例都利用 ff 在两个不同 xx 处取相同 yy 值的非单调性。

一句话总结

判别”ana_n 发散是否能逆推 f(an)f(a_n) 发散”的根本工具就是本文的两个定理：只有 ff 严格单调且在无穷远处发散，才能保证这一推论成立。sinh⁡\sinh 是 R→R\mathbb{R}\to\mathbb{R} 的严格单调双射且无水平渐近线，是 (D) 唯一正确的原因；其余三项都倒在了”非单一区间上严格单调”上。

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