5.8 $AB=BA$

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $AB=BA$ 的充要条件是 $A$ 和 $B$ 的特征向量相同。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.8 节，PDF 第 28—29 页（纸质页码第 191—192 页）。

一、必要性

已知 $AB=BA$ 。设 $\alpha$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则

A\alpha=\lambda\alpha,\qquad \alpha\ne0.

两端左乘 $B$ ，并利用 $AB=BA$ ，得

BA\alpha=\lambda B\alpha,

即

A(B\alpha)=\lambda(B\alpha).

此时不能直接说 $B\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，因为特征向量不能是零向量，需要分类讨论。

因为 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值， $\lambda$ 是单重特征值，只对应一个线性无关的特征向量，所以 $B\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，即

B\alpha=k\alpha.

故 $\alpha$ 也是 $B$ 的特征向量。对 $A$ 的任意特征值都可作同样推导，因此 $A$ 的特征向量均为 $B$ 的特征向量。

$A$ 有 $n$ 个不同的特征值，所以有 $n$ 个线性无关的特征向量；而 $n$ 阶矩阵最多只能有 $n$ 个线性无关的特征向量，因此 $A$ 和 $B$ 的特征向量相同。

已知 $A$ 和 $B$ 的特征向量相同。因为 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，所以存在可逆矩阵 $P$ ，使

P^{-1}AP=\Lambda_1, \qquad A=P\Lambda_1P^{-1}.

同一组特征向量也能把 $B$ 相似对角化：

P^{-1}BP=\Lambda_2, \qquad B=P\Lambda_2P^{-1}.

由于 $\Lambda_1,\Lambda_2$ 均为对角矩阵，

\Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1.

于是

AB =P\Lambda_1P^{-1}P\Lambda_2P^{-1} =P\Lambda_1\Lambda_2P^{-1},

BA =P\Lambda_2P^{-1}P\Lambda_1P^{-1} =P\Lambda_2\Lambda_1P^{-1},

所以

\boxed{AB=BA}.

由证明还可推出：若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值且 $AB=BA$ ，则存在同一个可逆矩阵 $P$ ，同时将 $A,B$ 相似对角化。

选择题例 5.23（2024 数二真题，单选题）

设 $A,B$ 为 $2$ 阶矩阵，且 $AB=BA$ ，则“ $A$ 有两个不相等的特征值”是“ $B$ 可对角化”的（　　）。

解答

答案为 B。

设 $\lambda_1,\lambda_2$ 是 $A$ 的两个不同特征值，非零向量 $\alpha_1,\alpha_2$ 满足

A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1, \qquad A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2.

由于 $\lambda_1\ne\lambda_2$ ，故 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关。又由 $AB=BA$ ，

AB\alpha_i=BA\alpha_i=\lambda_iB\alpha_i \qquad(i=1,2).

若 $B\alpha_i\ne0$ ，则 $B\alpha_i$ 是 $A$ 属于 $\lambda_i$ 的特征向量。因为 $A$ 为二阶矩阵且有两个不同的特征值，每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，所以

B\alpha_i=k_i\alpha_i\qquad(k_i\ne0),

从而 $\alpha_i$ 是 $B$ 的特征向量。

若 $B\alpha_i=0$ ，则 $\alpha_i$ 是 $B$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。

不论是哪种情况， $\alpha_1,\alpha_2$ 均为 $B$ 的两个线性无关的特征向量，故 $B$ 能相似对角化。因此，“ $A$ 有两个不相等的特征值”是“ $B$ 可对角化”的充分条件。

但它不是必要条件。取

A=B=E,

则 $AB=BA$ 且 $B$ 为对角矩阵，但 $A$ 没有两个不相等的特征值。

综上，应选 B。