5.5 矩阵相似与相似对角化

相似保留特征多项式；相似对角化则进一步要求每个重特征值拥有足够多的线性无关特征向量。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.5 节，PDF 第 18—26 页（纸质页码第 181—189 页）。本文完整保留例 5.9—5.21。

验算：使用本机 MATLAB R2024b 精确核验了例 5.14 的三个秩，以及例 5.19 的相似变换结果。

一、矩阵相似的判据与不变量

若 $A\sim B$ ，则

|\lambda E-A|=|\lambda E-B|,

从而特征值、迹、行列式及各阶行列式因子相同。并且对任意 $\lambda$ ，

r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B).

对一般矩阵，这只是相似的必要条件；对二阶和三阶矩阵，它也是充分条件。

选择题例 5.9（2018 数一、数二、数三真题）

下列矩阵中，与矩阵

A= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

相似的为（　　）。

A. $\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

解答

答案为 A。

四个选项与题中矩阵的特征多项式均为

(\lambda-1)^3.

记四个选项为 $B_1,B_2,B_3,B_4$ 。计算可得

r(E-A)=2.

又有

r(E-B_1)=2, \qquad r(E-B_2)=r(E-B_3)=r(E-B_4)=1.

对三阶矩阵，特征多项式相同且对每个特征值对应的秩相同即可判定相似，所以只有 $B_1$ 与 $A$ 相似，应选 A。

选择题例 5.10（2016 数一、数二、数三真题）

设 $A,B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是（　　）。

A. $A^T$ 与 $B^T$ 相似
B. $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
C. $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
D. $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似

解答

答案为 C。

由 $A\sim B$ ，存在可逆矩阵 $P$ 使

P^{-1}AP=B.

取转置得

B^T=(P^{-1}AP)^T=P^TA^T(P^T)^{-1},

故 $A^T\sim B^T$ 。

取逆得

B^{-1}=(P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}A^{-1}P,

故 $A^{-1}\sim B^{-1}$ 。

又

B+B^{-1} =P^{-1}AP+P^{-1}A^{-1}P =P^{-1}(A+A^{-1})P,

故 $A+A^{-1}\sim B+B^{-1}$ 。

但 $A^T$ 与 $B^T$ 的相似变换矩阵一般不是把 $A$ 变成 $B$ 的同一个 $P$ ，所以不能把两组相似关系直接相加； $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 未必相似。因此 C 错误。

解答题例 5.11（2019 数一、数二、数三真题，第 1 问）

已知矩阵

A= \begin{pmatrix} -2&-2&1\\ 2&x&-2\\ 0&0&-2 \end{pmatrix}

与

B= \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&y \end{pmatrix}

相似，求 $x,y$ 。

解答

相似矩阵的迹与行列式分别相等。由迹相等，

-4+x=1+y,

即

x-y=5.

由行列式相等，

|A|=|B|.

按第三行展开可得

(-2) \begin{vmatrix} -2&-2\\ 2&x \end{vmatrix} =-2y,

即

4x-8=-2y,

从而

2x+y=4.

联立

\begin{cases} x-y=5,\\ 2x+y=4 \end{cases}

解得

\boxed{x=3,\qquad y=-2}.

解答题例 5.12（李林六套卷）

设

A= \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

与

B= \begin{pmatrix} a&b&c\\ 0&1&0\\ -1&-2&4 \end{pmatrix}

相似。

求 $a,b,c$ ；
原资料强调：在利用迹相等与行列式相等后，若仍不能求出所有未知数，应继续利用 $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$ 。

解答

由 $A\sim B$ ，

\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B), \qquad |A|=|B|.

于是

5=a+5,

故

a=0.

又

|A|=3, \qquad |B|=4a+c,

所以

c=3.

$A$ 的特征值为 $1,1,3$ 。相似矩阵对应同一特征值的几何重数相同。对特征值 $1$ ，

r(E-A)=1.

代入 $a=0,c=3$ 后，

E-B= \begin{pmatrix} 1&-b&-3\\ 0&0&0\\ 1&2&-3 \end{pmatrix}.

要求

r(E-B)=1,

两非零行必须成比例。比较第一、第三行可得

-b=2,

故

\boxed{a=0,\qquad b=-2,\qquad c=3}.

二、相似对角化的充要条件

常用结论：

实对称矩阵一定能相似对角化。
$n$ 阶矩阵有 $n$ 个不同特征值时，一定能相似对角化。
$n$ 阶矩阵能相似对角化的充要条件是有 $n$ 个线性无关的特征向量。
等价地，每个 $k$ 重特征值必须对应 $k$ 个线性无关的特征向量。
若 $A$ 能相似对角化，则
$r(A)=\text{非零特征值的个数（计代数重数）}.$

选择题例 5.13（2023 数一真题）

下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（　　）。

A. $\begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}1&1&a\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}$

解答

答案为 D。

A 为上三角矩阵，特征值为 $1,2,3$ ，互不相同，所以一定可相似对角化。

B 为实对称矩阵，所以一定可相似对角化。

C 的特征值为 $1,2,2$ 。对重特征值 $2$ ，方程

(2E-C)x=0

有两个线性无关解，故可相似对角化。

D 的特征值为 $1,2,2$ ，但

r(2E-D)=2,

所以属于特征值 $2$ 的线性无关特征向量只有

3-r(2E-D)=1

个，不能相似对角化。

选择题例 5.14（余丙森模拟卷）

设三阶矩阵 $A$ 的特征值为

\lambda_1=\lambda_2=-1,\qquad \lambda_3=2,

且 $A$ 不能相似于对角阵，则

r(A+E)+r(A-E)+r(A-2E)

等于（　　）。

A. $3$
B. $4$
C. $6$
D. $7$

解答

答案为 D。

因为 $A$ 不能相似对角化，二重特征值 $-1$ 只对应一个线性无关的特征向量，所以

3-r(A+E)=1,

即

r(A+E)=2.

特征值 $2$ 为单重特征值，故

3-r(A-2E)=1,

即

r(A-2E)=2.

$1$ 不是 $A$ 的特征值，所以

|A-E|\ne0, \qquad r(A-E)=3.

因此

r(A+E)+r(A-E)+r(A-2E)=2+3+2=7.

选择题例 5.15（2022 数一真题）

下列条件中， $3$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充分非必要条件是（　　）。

A. $A$ 有 $3$ 个不同的特征值
B. $A$ 有 $3$ 个线性无关的特征向量
C. $A$ 有 $3$ 个两两线性无关的特征向量
D. $A$ 的属于不同特征值的特征向量相互正交

解答

答案为 A。

A 是充分非必要条件：有三个不同特征值一定可对角化，但可对角化矩阵允许重特征值。

B 是相似对角化的充要条件。

C 是必要非充分条件。若 $A$ 可相似对角化，则有三个线性无关的特征向量，从而它们两两线性无关；但三个向量两两线性无关，不代表三个向量整体线性无关。

例如

A= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

只有特征值 $0$ ，可取三个两两线性无关的特征向量

\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad \xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \quad \xi_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},

但 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ 整体线性相关， $A$ 不能相似对角化。

D 不能推出 $A$ 可对角化。属于不同特征值的特征向量正交，并不能保证重特征值对应足够多的线性无关特征向量。

原资料选择 A，并强调题目要求“充分非必要”时应准确区分各条件的逻辑强弱。

选择题例 5.16（2022 数二、数三真题）

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，

\Lambda= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},

则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是（　　）。

A. 存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使得 $A=P\Lambda Q$
B. 存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A=P\Lambda P^{-1}$
C. 存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $A=Q\Lambda Q^{-1}$
D. 存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A=P\Lambda P^T$

解答

答案为 B。

矩阵相似的定义是存在可逆矩阵 $P$ 使

P^{-1}AP=B

或等价地

A=PBP^{-1}.

相似矩阵具有相同的特征值。其余形式不是一般意义下的相似变换，不能保证特征值保持不变。

选择题例 5.17（2020 数二、数三真题）

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵， $\alpha_1,\alpha_2$ 为 $A$ 属于特征值 $1$ 的线性无关特征向量， $\alpha_3$ 为 $A$ 属于特征值 $-1$ 的特征向量。若

P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},

则可逆矩阵 $P$ 可为（　　）。

A. $(\alpha_1+\alpha_3,\alpha_2,-\alpha_3)$
B. $(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3,-\alpha_2)$
C. $(\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_3,\alpha_2)$
D. $(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3,\alpha_2)$

解答

答案为 D。

$P$ 的第 $1,3$ 列应为属于特征值 $1$ 的两个线性无关特征向量，第 $2$ 列应为属于特征值 $-1$ 的特征向量。

由于 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，

\alpha_1+\alpha_2,\qquad \alpha_2

仍线性无关，且都属于特征值 $1$ ； $-\alpha_3$ 仍属于特征值 $-1$ 。故

P=(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3,\alpha_2)

满足要求。

选择题例 5.18（线代九讲）

已知

P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix},

$\alpha_1$ 是 $A$ 属于特征值 $1$ 的特征向量， $\alpha_2,\alpha_3$ 是 $A$ 属于特征值 $3$ 的线性无关特征向量，则矩阵 $P$ 不可以是（　　）。

A. $(\alpha_1,-2\alpha_2,\alpha_3)$
B. $(\alpha_1,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_2-2\alpha_3)$
C. $(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_2)$
D. $(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2,\alpha_3)$

解答

答案为 D。

属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量，因此 A、B、C 的第 $2,3$ 列都可作为属于特征值 $3$ 的两个线性无关特征向量。

但 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 属于不同特征值，

\alpha_1+\alpha_2,\qquad \alpha_1-\alpha_2

一般都不是 $A$ 的特征向量，所以 D 不满足要求。

选择题例 5.19（李林六套卷）

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，三个线性无关向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 满足

A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =(\alpha_1,\alpha_2,-\alpha_3).

记

P=(\alpha_1+\alpha_3,\alpha_2,-\alpha_3),

则 $P^{-1}AP$ 为（　　）。

A. $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&-1\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$

解答

答案为 A。

由题设，

A\alpha_1=\alpha_1,\qquad A\alpha_2=\alpha_2,\qquad A\alpha_3=-\alpha_3.

因此

\begin{aligned} AP &=A(\alpha_1+\alpha_3,\alpha_2,-\alpha_3)\\ &=(\alpha_1-\alpha_3,\alpha_2,\alpha_3). \end{aligned}

又

\alpha_1-\alpha_3 =(\alpha_1+\alpha_3)+2(-\alpha_3),

所以

AP =P \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 2&0&-1 \end{pmatrix}.

$P$ 的列向量线性无关，故 $P$ 可逆，从而

\boxed{ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 2&0&-1 \end{pmatrix}}.

三、用秩判定能否相似对角化

解答题例 5.20

设 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足

r(A-2E)<r(A-E)<r(A),

证明 $A$ 可相似对角化。

解答

三个秩都是 $0,1,2,3$ 中的整数，并且严格递增，所以只能是

r(A-2E)=1,\qquad r(A-E)=2,\qquad r(A)=3.

由 $r(A)=3$ ，知 $0$ 不是 $A$ 的特征值。

由

r(A-2E)=1

知

n-r(A-2E)=3-1=2,

所以属于特征值 $2$ 的线性无关特征向量有两个，特征值 $2$ 的几何重数为 $2$ 。

由

r(A-E)=2

知

n-r(A-E)=3-2=1,

所以属于特征值 $1$ 的线性无关特征向量有一个。

两组特征向量分别属于不同特征值，合计得到三个线性无关特征向量。因此

\boxed{A\text{ 可相似对角化}}.

解答题例 5.21

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足

r(A)>r(A^2),

证明矩阵 $A$ 不能相似对角化。

解答

用反证法。若 $A$ 可相似对角化，则存在可逆矩阵 $P$ ，使

P^{-1}AP=\Lambda.

于是

P^{-1}A^2P=\Lambda^2.

相似矩阵的秩相同，所以

r(A)=r(\Lambda), \qquad r(A^2)=r(\Lambda^2).

设

\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).

对任意标量 $\lambda_i$ ，

\lambda_i=0\iff \lambda_i^2=0.

因此 $\Lambda$ 与 $\Lambda^2$ 的非零对角元个数相同，从而

r(\Lambda)=r(\Lambda^2).

故

r(A)=r(A^2),

与题设 $r(A)>r(A^2)$ 矛盾。因此

\boxed{A\text{ 不能相似对角化}}.

Zemengzhou Space

ギターと孤独と蒼い惑星

5.5 矩阵相似与相似对角化

5.5 矩阵相似与相似对角化

一、矩阵相似的判据与不变量

二、相似对角化的充要条件

三、用秩判定能否相似对角化

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