5.6 秩一矩阵相似对角化结论的证明

秩一矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件是 $\operatorname{tr}(A)\ne0$。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.6 节，PDF 第 27 页（纸质页码第 189 页）。

考试提醒：秩一矩阵的任何结论，在大题中都不能直接使用；本节给出可直接展开书写的完整证明。

一、结论与证明思路

设 $A$ 为 $n$ 阶秩一矩阵。需要证明的结论是

$$A\text{ 可相似对角化} \Longleftrightarrow \operatorname{tr}(A)\ne0.$$

证明分为两部分：先由 $r(A)=1$ 确定 $0$ 的特征值重数，再分别讨论 $\operatorname{tr}(A)=0$ 与 $\operatorname{tr}(A)\ne0$。

二、由秩一条件确定特征值结构

由

$$r(A)=1$$

可得

$$|A|=0,$$

所以 $0$ 必为 $A$ 的特征值。

又由 $r(A)=1$，方程组 $Ax=0$ 的基础解系中有 $n-1$ 个线性无关的解向量。因此，$\lambda=0$ 对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量，从而 $\lambda=0$ 至少是 $n-1$ 重特征值。这里使用

$$\text{代数重数}\ge \text{几何重数}.$$

由秩一矩阵的基本结论可知，

$$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \qquad \lambda_n=\operatorname{tr}(A).$$

这说明秩一矩阵的全部特征值可以写为

$$\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\text{ 个}},\quad \operatorname{tr}(A).$$

三、按迹讨论相似对角化

1. $\operatorname{tr}(A)=0$ 时

若

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)=0,$$

则 $\lambda=0$ 为 $n$ 重特征值，但只对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量，此时 $A$ 无法相似对角化。

2. $\operatorname{tr}(A)\ne0$ 时

若

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)\ne0,$$

则 $\lambda=0$ 为 $n-1$ 重特征值，且对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量；另一特征值 $\operatorname{tr}(A)$ 还能对应一个与它们线性无关的特征向量。

因此，$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，故 $A$ 可以相似对角化。

四、必要性：可相似对角化时 $\operatorname{tr}(A)\ne0$

反过来，若矩阵 $A$ 可以相似对角化，则 $k$ 重特征值必须对应 $k$ 个线性无关的特征向量。

已知 $\lambda=0$ 只对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量，所以 $0$ 必为 $n-1$ 重而不能是 $n$ 重，即

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)\ne0.$$

因此，秩一矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件为

$$\boxed{\operatorname{tr}(A)\ne0}.$$

五、考场速记

1. $r(A)=1\Rightarrow 0$ 是特征值，且对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量；
2. 特征值为 $0,\ldots,0,\operatorname{tr}(A)$；
3. 当 $\operatorname{tr}(A)=0$ 时，$0$ 为 $n$ 重特征值却只有 $n-1$ 个线性无关的特征向量，不能相似对角化；
4. 当 $\operatorname{tr}(A)\ne0$ 时，特征向量总数达到 $n$ 个，可以相似对角化。