5.4 凑特征值和特征向量

看到矩阵等式时，把它按列拆开并主动凑成 $A\alpha=\lambda\alpha$，是贯穿考研线性代数的核心反射。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.4 节，PDF 第 15—17 页（纸质页码第 178—180 页）。完整保留例 5.5—5.8。

验算：使用本机 MATLAB R2024b 核验了例 5.8 中 $B,C$ 的秩以及由列分块得到的特征子空间维数。

一、相似矩阵间的特征向量传递

若

$$P^{-1}AP=B,\qquad A\alpha=\lambda\alpha,$$

则

$$\begin{aligned} B(P^{-1}\alpha) &=P^{-1}APP^{-1}\alpha\\ &=P^{-1}A\alpha\\ &=\lambda P^{-1}\alpha. \end{aligned}$$

因此 $B$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $P^{-1}\alpha$；$f(B)$ 对应的特征向量也为 $P^{-1}\alpha$。

选择题例 5.5（线代九讲，单选题）

设

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\5&4\end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, \qquad B=P^{-1}A^{100}P,$$

则 $B+E$ 的线性无关的特征向量可以为（　　）。

• A. $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}$
• B. $\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$
• C. $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$
• D. $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$

解答

答案为 B。

由

$$|\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-1&-2\\ -5&\lambda-4 \end{vmatrix} =(\lambda+1)(\lambda-6),$$

知 $A$ 的特征值为 $-1,6$。对应的线性无关特征向量可分别取

$$\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}.$$

因为

$$P^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix},$$

所以

$$P^{-1}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}.$$

这两个向量也是 $B+E$ 的线性无关特征向量，应选 B。

二、由特征向量定义求含参矩阵

给出含参矩阵的一个特征向量时，直接使用

$$A\alpha=\lambda\alpha$$

转化为方程组求参数。

填空题例 5.6（2017 数二真题）

设矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 4&1&-2\\ 1&2&a\\ 3&1&-1 \end{pmatrix}$$

的一个特征向量为

$$\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},$$

则 $a=$ ______。

解答

答案为

$$\boxed{-1}.$$

设 $(1,1,2)^T$ 对应的特征值为 $\lambda$，则

$$\begin{pmatrix} 4&1&-2\\ 1&2&a\\ 3&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 3+2a\\ 2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}.$$

因此

$$\lambda=1,\qquad 3+2a=1,$$

故

$$\boxed{a=-1}.$$

三、常用的直接凑法

1. 每行元素之和均为 $k$

若矩阵 $A$ 每行元素之和均为 $k$，则

$$A\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix} = k\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}.$$

所以 $k$ 是 $A$ 的一个特征值，$(1,1,\ldots,1)^T$ 是对应的特征向量。

2. 伴随矩阵主对角元素之和

三阶矩阵 $A$ 的三个二阶主子式之和满足

$$A_{11}+A_{22}+A_{33} =\operatorname{tr}(A^*).$$

3. 构造 $AP=PB$

把若干线性无关向量按列组成可逆矩阵 $P$，再根据 $A$ 作用于各列后的坐标构造 $B$。由

$$AP=PB$$

可得

$$P^{-1}AP=B,$$

从而把特征值和特征向量问题转到结构更清晰的 $B$。

四、由零空间凑零特征值

$Ax=0$ 的非零解就是矩阵 $A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。

填空题例 5.7（李林 880）

设 $A_{3\times3}$ 是秩为 $1$ 的实对称矩阵，$\lambda_1=2$ 是 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为

$$\alpha_1=(-1,1,1)^T,$$

则方程组 $Ax=0$ 的基础解系为 ______。

解答

由 $r(A)=1$ 且 $A$ 为实对称矩阵，知

$$A\sim\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3),$$

并且

$$\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=\lambda_3=0.$$

设 $\lambda_2=\lambda_3=0$ 对应的特征向量为

$$\alpha=(x_1,x_2,x_3)^T.$$

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故

$$\alpha_1^T\alpha=-x_1+x_2+x_3=0.$$

该方程的两个线性无关解可取

$$\alpha_2=(1,1,0)^T,\qquad \alpha_3=(1,0,1)^T.$$

由于

$$(0E-A)x=0$$

与 $Ax=0$ 同解，故其基础解系为

$$\boxed{\alpha_2=(1,1,0)^T,\qquad \alpha_3=(1,0,1)^T}.$$

五、把矩阵等式按列分块

若

$$AB=C,$$

将

$$B=(\beta_1,\ldots,\beta_n),\qquad C=(\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$$

按列分块，可逐列得到

$$A\beta_i=\gamma_i,$$

再根据 $\gamma_i$ 与 $\beta_i$ 的关系凑出特征值和特征向量。

解答题例 5.8（线代九讲）

设 $A,B,C$ 均为 $3$ 阶矩阵，且满足

$$(A+2E)B=O,\qquad CA^T=2C,$$

其中

$$B= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ -1&1&0\\ 2&-1&1 \end{pmatrix}, \qquad C= \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ -2&4&-2\\ -1&2&-1 \end{pmatrix}.$$

求矩阵 $A$ 的特征值与特征向量。

解答

由

$$(A+2E)B=O$$

得

$$AB=-2B.$$

将

$$B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$$

按列分块，则

$$A\beta_i=-2\beta_i,\qquad i=1,2,3.$$

所以 $\beta_i$ 均为 $A$ 属于特征值 $-2$ 的特征向量。又因为

$$\beta_1,\beta_2$$

线性无关，且

$$\beta_3=\beta_1+\beta_2,$$

所以 $\lambda=-2$ 至少是二重特征值；其两个线性无关特征向量可取

$$\beta_1= \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}, \qquad \beta_2= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}.$$

再由

$$CA^T=2C$$

两边取转置，得

$$AC^T=2C^T.$$

把

$$C^T=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$$

按列分块，则

$$A\alpha_i=2\alpha_i,\qquad i=1,2,3.$$

所以 $\alpha_i$ 均为 $A$ 属于特征值 $2$ 的特征向量。由于三列互成比例，可取

$$\alpha_1= \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}.$$

综上，$A$ 的特征值为

$$\boxed{\lambda_1=\lambda_2=-2,\qquad \lambda_3=2}.$$

属于 $\lambda=-2$ 的全部特征向量为

$$\boxed{ k_1\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} +k_2\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}, \qquad k_1,k_2\text{ 不全为 }0};$$

属于 $\lambda=2$ 的全部特征向量为

$$\boxed{ k_3\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \qquad k_3\ne0}.$$