5.2 特殊矩阵的特征值和特征向量

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.2 节，PDF 第 14 页（纸质页码第 176 页）。

一、秩一矩阵

原资料提示：详见思维课 2.5.7 小节。

设 $A$ 为 $n$ 阶秩一矩阵，则其特征值为

$$0,0,\ldots,0,\operatorname{tr}(A).$$

其中 $0$ 至少为 $n-1$ 重特征值。秩一矩阵能相似对角化的充要条件将在 5.6 节证明。

二、正交矩阵

原资料提示：详见思维课 2.5.5 小节。

若实矩阵 $A$ 为正交矩阵，则

$$A^TA=AA^T=E,\qquad A^{-1}=A^T.$$

其特征值的模均为 $1$；实特征值只能为 $1$ 或 $-1$，非实特征值成共轭对出现。