0° 根轨迹的绘制法则：与常规 180° 根轨迹的差异

一、为什么叫 0° 根轨迹

正反馈系统的闭环特征方程为

1-G(s)H(s)=0\quad\Longleftrightarrow\quad G(s)H(s)=1

代入开环传函的零极点形式

G(s)H(s)=K^*\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}=1

取相角与模值后，得到两个条件：

相角条件：

\sum_{j=1}^{m}\angle(s-z_j)-\sum_{i=1}^{n}\angle(s-p_i)=2k\pi,\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots

模值条件：

K^*=\frac{\prod_{i=1}^{n}|s-p_i|}{\prod_{j=1}^{m}|s-z_j|}

常规（180°）根轨迹来自负反馈 $1+G(s)H(s)=0$ ，相角条件为 $(2k+1)\pi$ ；正反馈的右边变成 $2k\pi$ ——这就是”0° 根轨迹”名字的由来。

绘制 0° 根轨迹的法则与常规根轨迹绝大部分相同（条数、起点终点、对称性、渐近线方向、与虚轴交点求法等），只有下面三条法则因为相角变成 $2k\pi$ 而需要替换。

实轴上某一区段为根轨迹，当且仅当其右方开环零、极点个数之和为偶数（含 $0$ ）。

（常规根轨迹要求为奇数。）

\varphi_a=\frac{2k\pi}{n-m},\qquad k=0,\pm 1,\cdots

（常规根轨迹为 $\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m}$ 。）

注意渐近线与实轴的交点 $\sigma_a$ 公式不变：

\sigma_a=\frac{\sum p_i-\sum z_j}{n-m}

设 $l$ 为对应开环零/极点的重数。

起始角（自极点 $p_i$ 出发）：

\varphi_{p_i}=\frac{1}{l}\left[2k\pi+\sum_{j=1}^{m}\varphi_{z_j p_i}-\sum_{\substack{j=1\\ j\ne i}}^{n}\theta_{p_j p_i}\right]

终止角（到达零点 $z_i$ ）：

\varphi_{z_i}=\frac{1}{l}\left[2k\pi-\sum_{\substack{j=1\\ j\ne i}}^{m}\varphi_{z_j z_i}+\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_j z_i}\right]

（常规根轨迹中方括号内首项为 $(2k+1)\pi$ 。）

计算时把结果归算到 $-180^\circ\sim 180^\circ$ 区间内。

\boxed{\text{0° 根轨迹的所有法则}=\text{180° 根轨迹的法则，把 }(2k+1)\pi\text{ 全部换成 }2k\pi}

对应到三条具体差异：

其余法则——分支条数、起终点、与渐近线交点 $\sigma_a$ 、分离点 $\dfrac{dK}{ds}=0$ 、与虚轴交点（用劳斯判据或代入 $s=j\omega$ ）——与常规根轨迹完全一致。