题干中的任意向量与“均”：方程组反射法、秩与特征值

若题干中出现向量和“均……”以及等式，则要条件反射转化为方程组，转而研究 $n-r(A)$。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第三章“向量”3.4 节，PDF 第 115—116 页（纸质页码第 109—110 页）。本文按知识逻辑重排，完整保留例 3.17、例 3.18 的题目和原资料解答；原资料证明中省略的一步另标为“整理补充说明”。

验算：使用本机 Wolfram 15 通过 stdio MCP 暴露的 WolframLanguageEvaluator，核验了例 3.18 中特征值为 $1,1,0$ 时 $A^2,A^3$ 的迹；同时用方程组零空间维数和特征向量定义独立复核了全部结论。

一、任意向量条件的两个基本结论

我们先介绍几个涉及“任意向量”的基本结论。

1. 列满秩矩阵的判定

对于任意非零向量 $\alpha$，均有

$$A\alpha\ne0 \iff A\text{ 为列满秩矩阵}.$$

这就是结论

$$r(A)=n \iff Ax=0\text{ 只有零解} \iff \forall x\ne0, Ax\ne0$$

的逆否命题。

2. 正定矩阵的判定

设 $A$ 为实对称矩阵。对于任意 $x\ne0$，均有

$$x^TAx>0 \iff A\text{ 为正定矩阵}.$$

以上两个结论属于基本结论，其涉及的均为不等式。但实际做题中，更多的是和等式打交道。

二、看到“均”和等式时的方程组反射法

当题目给出“对任意向量均满足某个等式”时，应先把该等式移项，写成齐次方程组

$$Mx=0.$$

若所有 $n$ 维向量都是它的解，则该方程组的解空间维数为 $n$。由齐次方程组基础解系所含向量个数

$$n-r(M)$$

可得

$$n-r(M)=n,$$

从而

$$r(M)=0, \qquad M=O.$$

因此，题干中的“任意向量”“均”和等式，往往可沿着下面这条路线处理：

$$\boxed{ \text{所有向量均满足等式} \Longrightarrow \text{所有向量均为某齐次方程组的解} \Longrightarrow n-r(M)=n \Longrightarrow M=O }.$$

三、例 3.17：由任意向量推出零矩阵或数量矩阵

解答题判断题

判断以下两个命题是否正确：

1. 若对于任意的 $n$ 维向量 $\alpha$，均有 $A\alpha=0$，则 $A=O$。
2. $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若任意的 $n$ 维向量 $\alpha$ 均为 $A$ 的特征向量，则 $A=\lambda E$，其中 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值。

解答

第 1 个命题

任意 $n$ 维向量都是齐次方程组

$$Ax=0$$

的解，所以 $Ax=0$ 的基础解系中有 $n$ 个线性无关的解向量。于是

$$n-r(A)=n,$$

即

$$r(A)=0.$$

因此

$$\boxed{A=O}.$$

第 1 个命题正确。

第 2 个命题

原资料证明写为：任意 $n$ 维向量都是齐次方程组

$$(\lambda E-A)x=0$$

的解，所以该方程组的基础解系中有 $n$ 个线性无关的解向量。于是

$$n-r(\lambda E-A)=n,$$

即

$$r(\lambda E-A)=0.$$

因此

$$\lambda E-A=O,$$

从而

$$\boxed{A=\lambda E}.$$

第 2 个命题正确。

整理补充说明：为什么可以使用同一个 $\lambda$。

原资料的上述写法省略了“所有非零向量所对应的特征值相同”这一步。任取两个线性无关向量 $u,v$，设

$$Au=\lambda_u u, \qquad Av=\lambda_v v.$$

由于 $u+v$ 也是非零向量，按题意它也是 $A$ 的特征向量，设

$$A(u+v)=\lambda_{u+v}(u+v).$$

另一方面，

$$A(u+v)=Au+Av=\lambda_u u+\lambda_v v.$$

比较 $u,v$ 的系数，得到

$$\lambda_u=\lambda_v=\lambda_{u+v}.$$

任意两个线性无关方向对应的特征值相同；线性相关的非零向量本来就在同一特征方向上，也对应同一特征值。因此存在一个固定的 $\lambda$，使所有向量都满足

$$(\lambda E-A)x=0.$$

这样便补全了原资料证明中省略的一步。

四、例 3.18（2024 数一真题）：由“均有”锁定全部特征值

原资料提示：此题的关键在于如何严谨地判断出 $A$ 的特征值是 $1,1,0$。看到“均……”条件，要反射想到转化为方程组；同时千万别忘了上一小节提到的，向量乘法的等式两端也能同时取转置。

选择题

设 $A$ 是秩为 $2$ 的 $3$ 阶矩阵，$\alpha$ 是满足

$$A\alpha=0$$

的非零向量。若对满足

$$\beta^T\alpha=0$$

的 $3$ 维列向量 $\beta$，均有

$$A\beta=\beta,$$

则（　　）。

• （A）$A^3$ 的迹为 $2$；
• （B）$A^3$ 的迹为 $5$；
• （C）$A^2$ 的迹为 $8$；
• （D）$A^2$ 的迹为 $9$。

解答

本题主要考查矩阵的特征值与矩阵的迹。

由于矩阵的迹等于矩阵的特征值之和，要求 $A^2$ 或 $A^3$ 的迹，可以先求得 $A$ 的特征值，由此得到 $A^2$ 或 $A^3$ 的特征值。

由 $\alpha$ 是满足 $A\alpha=0$ 的非零向量可知，$A$ 有一个属于特征值 $0$ 的特征向量 $\alpha$。

由条件

$$\beta^T\alpha=0$$

可知，$\beta$ 和 $\alpha$ 相互正交。于是存在两个线性无关且与 $\alpha$ 正交的向量 $\beta_1,\beta_2$。由于方程组的系数矩阵秩为 $1$，该齐次方程组有两个线性无关的解。也可以由

$$r(\alpha^T)=1$$

得到它的基础解系所含向量个数为

$$3-r(\alpha^T)=3-1=2.$$

即 $\beta_1,\beta_2$ 是 $\alpha^Tx=0$ 的两个线性无关的解向量。

结合题设“对满足 $\beta^T\alpha=0$ 的 $3$ 维列向量 $\beta$，均有 $A\beta=\beta$”，可知

$$A\beta_1=\beta_1, \qquad A\beta_2=\beta_2.$$

因此，$\beta_1,\beta_2$ 是 $A$ 的属于特征值 $1$ 的两个线性无关的特征向量。

由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故 $\alpha,\beta_1,\beta_2$ 是 $A$ 的三个线性无关的特征向量。又因为 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，所以 $A$ 的特征值为

$$1,1,0.$$

进一步可得 $A^2,A^3$ 的特征值也均为

$$1,1,0.$$

所以

$$\operatorname{tr}(A^2)=2, \qquad \operatorname{tr}(A^3)=2.$$

因此，应选 A。

五、为什么 $r(A)=2$ 是冗余条件

由例 3.18 的分析已经得到，$A$ 存在三个线性无关的特征向量，其对应特征值为

$$0,1,1.$$

因此 $A$ 可以相似对角化为

$$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(0,1,1).$$

相似变换不改变秩，所以

$$r(A)=r\bigl(\operatorname{diag}(0,1,1)\bigr)=2.$$

也就是说，即使题目不预先给出 $r(A)=2$，也能仅由

$$A\alpha=0, \qquad \beta^T\alpha=0\Longrightarrow A\beta=\beta$$

推出 $A$ 的特征值为 $1,1,0$，进而推出 $r(A)=2$。所以原资料特别指出：本题的 $r(A)=2$ 条件是冗余的。

六、验算与考场速记

本机 Wolfram 15 的 stdio MCP 工具 WolframLanguageEvaluator 对

$$D=\operatorname{diag}(1,1,0)$$

返回

$$\chi_D(t)=-t+2t^2-t^3=-t(t-1)^2,$$

以及

$$\operatorname{tr}(D^2)=2, \qquad \operatorname{tr}(D^3)=2.$$

这与正文从三个线性无关特征向量得到的结果一致。

考场上可按以下顺序反应：

1. 看到“任意向量均满足等式”，先移项写成齐次方程组。
2. 所有 $n$ 维向量均为解，意味着零空间维数为 $n$，所以系数矩阵的秩为 $0$。
3. 看到 $\beta^T\alpha=0$，把它看作关于 $\beta$ 的齐次方程 $\alpha^T\beta=0$。
4. 非零 $\alpha$ 使 $r(\alpha^T)=1$，因此正交补空间的维数为 $3-1=2$。
5. 由两个属于特征值 $1$ 的特征向量和一个属于特征值 $0$ 的特征向量，立即锁定全部特征值为 $1,1,0$。
6. 求 $A^k$ 的迹时，将特征值分别取 $k$ 次幂后求和。