向量组等价：相互表示、秩判据与初等变换

向量组等价的本质是可以相互线性表示，也就是张成同一个向量空间。

来源：逍遥遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第三章“向量”，PDF 第 122—128 页（纸质页码第 117—122 页）。本文按知识逻辑重排，题目和原资料解答均完整保留。

验算：使用本机 Wolfram 15 的 stdio MCP 工具 WolframLanguageEvaluator，精确核验了 2019、2022 年参数题和例 3.28 的行列式因式分解、异常参数点的秩、表示系数与最终参数集合；正文推导仍保留可独立检查的步骤。

一、向量组等价的定义与充要条件

思维课从两个角度讲解向量组的等价：先讲“相互表示角度”，再讲“初等变换角度”。

1. 列向量组

列向量组 I 和 II 等价的定义是：向量组 I 和 II 可相互表示。

列向量组 I 和 II 等价的充要条件是

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II}).$$

2. 行向量组

行向量组 I 和 II 等价的定义同样是：向量组 I 和 II 可相互表示。

行向量组 I 和 II 等价的充要条件是

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II}) =r\begin{pmatrix}\mathrm I\\\mathrm {II}\end{pmatrix}.$$

3. 矩阵等价与向量组等价的区别

同型矩阵 $A$ 和 $B$ 等价的充要条件为

$$r(A)=r(B).$$

但同型矩阵 $A$ 和 $B$ 的列向量组等价，还必须满足

$$r(A)=r(B)=r(A,B);$$

行向量组等价则必须满足

$$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.$$

矩阵等价只说明秩相同；向量组等价还要求张成的空间相同。

二、三秩相等的两种理解

1. 谁能把谁干成零

若列向量组 I 和 II 等价，则向量组 I 和 II 可相互表示。研究分块矩阵 $(\mathrm I,\mathrm {II})$，二者处在同一行上，可以做列变换。

I 能表示 II，则 I 能把 II 消成零：

$$r(\mathrm I,\mathrm {II})=r(\mathrm I,0)=r(\mathrm I).$$

II 能表示 I，则 II 能把 I 消成零：

$$r(\mathrm I,\mathrm {II})=r(0,\mathrm {II})=r(\mathrm {II}).$$

因此

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II}).$$

同理，若 $A$ 的行向量和 $B$ 的行向量等价，则研究纵向分块矩阵

$$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.$$

$A$ 能表示 $B$，则 $A$ 能把 $B$ 干成零；$B$ 能表示 $A$，则 $B$ 能把 $A$ 干成零，于是

$$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.$$

2. 方程组有解

I 能表示 II，意味着方程组

$$(\mathrm I)x=(\mathrm {II})$$

有解，因此

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm I,\mathrm {II}).$$

II 能表示 I，意味着

$$(\mathrm {II})x=(\mathrm I)$$

有解，因此

$$r(\mathrm {II})=r(\mathrm {II},\mathrm I).$$

又因为

$$r(\mathrm I,\mathrm {II})=r(\mathrm {II},\mathrm I),$$

所以

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II}).$$

三、一个进阶结论

若列向量组 I 能被列向量组 II 表示，且

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II}),$$

则列向量组 I 和 II 等价。

证明如下：

$$\text{列向量组 I 能被 II 表示} \iff (\mathrm {II})x=(\mathrm I)\text{ 有解} \iff r(\mathrm {II})=r(\mathrm {II},\mathrm I).$$

又因为

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II}),$$

所以

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm {II},\mathrm I).$$

再由

$$r(\mathrm {II},\mathrm I)=r(\mathrm I,\mathrm {II}),$$

可得

$$r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II}).$$

所以列向量组 I 和 II 等价。

实际上，在 $r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})$ 的前提下，“列向量组 I 能被列向量组 II 表示”是“两列向量组等价”的充分条件；等价意味着可以相互表示，所以必要性也显然成立。

四、初等变换角度

在解方程时，对加减后的方程组进行初等行变换，化简成一个较为简单的形式后再求解。对原方程组进行初等行变换之后，最终得到的方程和原方程并不是一个方程，但两个方程组是同解的。这是基本结论：进行初等行变换，方程组同解的充要条件是行向量组等价。

因此可以得到：

$$\boxed{\text{进行初等行变换后，变换前后的二者行向量等价。}}$$

同理可得：

$$\boxed{\text{进行初等列变换后，变换前后的二者列向量等价。}}$$

换一个角度说明：若存在可逆矩阵 $P$，使得

$$PA=B,$$

则 $B$ 的行向量可以被 $A$ 的行向量线性表示；又因为 $P$ 可逆，

$$A=P^{-1}B,$$

所以 $A$ 的行向量也可以被 $B$ 的行向量线性表示，故 $A$ 和 $B$ 的行向量组等价。

初等变换一定是可逆的。若 $A$ 可以经过初等行变换变成 $B$，则 $B$ 也一定可以经过初等行变换变成 $A$，这意味着二者一定可相互表示，所以等价。

进一步：初等行变换不改变列向量之间的相关性及其表示系数，且变换前后行向量组等价；初等列变换不改变行向量之间的相关性及其表示系数，且变换前后列向量组等价。

五、完整例题与解答

例 3.25（2013 数一二三真题）

选择题

设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若

$$AB=C,$$

且 $B$ 可逆，则（　　）

• （A）矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价；
• （B）矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价；
• （C）矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价；
• （D）矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价。

解答

思路一：相互表示角度。

由

$$AB=C,$$

知 $C$ 的列向量可以被 $A$ 的列向量线性表示。又因为 $B$ 可逆，

$$A=CB^{-1},$$

所以 $A$ 的列向量可以被 $C$ 的列向量线性表示。因此 $A$ 和 $C$ 的列向量可以相互表示，二者列向量组等价。

思路二：初等变换角度。

$A$ 右乘可逆矩阵 $B$，相当于对 $A$ 进行了一系列初等列变换，因此 $A$ 和 $C$ 的列向量组等价。

故选 B。

补例：由 $r(A)=r(AB)$ 判断命题

选择题

已知 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且

$$r(A)=r(AB),$$

则以下命题中正确的有（　　）

1. $Ax=0$ 有非零解；
2. $ABx=0$ 有非零解；
3. $ABX=A$ 有解；
4. $A$ 和 $AB$ 的列向量组等价。

解答

$AB$ 的列向量可以被 $A$ 的列向量表示，所以

$$r(A)=r(A,AB).$$

题设又给出

$$r(A)=r(AB),$$

因此

$$r(A)=r(AB)=r(A,AB).$$

所以 $A$ 和 $AB$ 的列向量组等价，命题 4 正确。

等价意味着 $A$ 的列向量可以被 $AB$ 的列向量表示，即矩阵方程

$$ABX=A$$

有解，所以命题 3 正确。

由 $r(A)=r(AB)$ 无法判断 $r(A)$、$r(AB)$ 与 $n$ 的大小关系，因此不能判断 $Ax=0$ 或 $ABx=0$ 是否有非零解，命题 1、2 推不出来。

故正确命题为 3、4。

例 3.26（2019 数二数三真题）

解答题解答题

已知向量组 I：

$$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}, \quad \alpha_3=\begin{pmatrix}1\\2\\a^2+3\end{pmatrix};$$

向量组 II：

$$\beta_1=\begin{pmatrix}1\\1\\a+3\end{pmatrix}, \quad \beta_2=\begin{pmatrix}0\\2\\1-a\end{pmatrix}, \quad \beta_3=\begin{pmatrix}1\\3\\a^2+3\end{pmatrix}.$$

若向量组 I 与 II 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。

解答

记

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3), \qquad B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3).$$

已知向量组 I 与向量组 II 等价，则 $A,B$ 满足

$$r(A)=r(B)=r(A,B).$$

对 $(A,B)$ 作初等行变换：

$$(A,B) = \begin{pmatrix} 1&1&1&1&0&1\\ 1&0&2&1&2&3\\ 4&4&a^2+3&a+3&1-a&a^2+3 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{\ r_2-r_1,\ r_3-4r_1\ } \begin{pmatrix} 1&1&1&1&0&1\\ 0&-1&1&0&2&2\\ 0&0&a^2-1&a-1&1-a&a^2-1 \end{pmatrix}.$$

由上式可知 $r(A)\ge2$，故 $r(A)=2$ 或 $r(A)=3$。

当 $a^2-1=0$ 时，即 $a=1$ 或 $a=-1$：

• 当 $a=-1$ 时，$r(A)=2$，但 $r(A,B)=3$，不符合题意；
• 当 $a=1$ 时，$r(A)=r(B)=r(A,B)=2$，向量组 I 与向量组 II 等价。

当 $a^2-1\ne0$ 时，

$$r(A)=r(B)=r(A,B)=3,$$

向量组 I 与向量组 II 等价。

因此

$$\boxed{a\ne-1}.$$

下面将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示，即求解

$$Ax=\beta_3.$$

当 $a=1$ 时： 对增广矩阵 $(A,\beta_3)$ 作初等行变换，得到

$$(A,\beta_3) \longrightarrow \begin{pmatrix} 1&0&2&3\\ 0&1&-1&-2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

取 $x_3=k$ 为自由变量，可得方程 $Ax=\beta_3$ 的一个特解与基础解系，因而

$$x= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} +k\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}, \qquad k\in\mathbb R.$$

所以

$$\boxed{\beta_3=(3-2k)\alpha_1+(-2+k)\alpha_2+k\alpha_3, \quad k\in\mathbb R.}$$

当 $a^2-1\ne0$ 时： $r(A)=3$，表示系数唯一。继续对 $(A,\beta_3)$ 作初等行变换可得

$$\begin{pmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}.$$

因此 $Ax=\beta_3$ 的唯一解为

$$x=(1,-1,1)^T,$$

从而

$$\boxed{\beta_3=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3.}$$

综上，当 $a\ne-1$ 时向量组 I 与向量组 II 等价；当 $a=1$ 时表示式含任意常数 $k$，当 $a\ne\pm1$ 时表示式唯一。

例 3.27（2022 数一二三真题）

选择题

设

$$\alpha_1=(\lambda,1,1)^T, \quad \alpha_2=(1,\lambda,1)^T, \quad \alpha_3=(1,1,\lambda)^T, \quad \alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T.$$

若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（　　）

• （A）$\{0,1\}$；
• （B）$\lambda\in\mathbb R,\ \lambda\ne-2$；
• （C）$\lambda\in\mathbb R,\ \lambda\ne-1,\ \lambda\ne-2$；
• （D）$\lambda\in\mathbb R,\ \lambda\ne-1$。

解答

当 $\lambda=1$ 时，

$$\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4 =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},$$

此时 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 显然等价。

当 $\lambda\ne1$ 时，考虑矩阵

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) = \begin{pmatrix} \lambda&1&1&1\\ 1&\lambda&1&\lambda\\ 1&1&\lambda&\lambda^2 \end{pmatrix}.$$

对 $A$ 作初等行变换：

$$A\longrightarrow \begin{pmatrix} 1&\lambda&1&\lambda\\ 0&1-\lambda&\lambda-1&\lambda^2-\lambda\\ 0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda^2 \end{pmatrix}$$ $$\longrightarrow \begin{pmatrix} 1&\lambda&1&\lambda\\ 0&1&-1&-\lambda\\ 0&1+\lambda&1&1+\lambda \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1&\lambda&1&\lambda\\ 0&1&-1&-\lambda\\ 0&0&\lambda+2&(\lambda+1)^2 \end{pmatrix}.$$

矩阵 $A$ 有二阶非零子式

$$\begin{vmatrix} \lambda&1\\ 1&\lambda \end{vmatrix} =\lambda^2-1.$$

结合上面的阶梯形矩阵可得

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=3 \iff \lambda\ne-2,$$ $$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)=3 \iff \lambda\ne-1.$$

因此，当 $\lambda\ne1$ 时，两个向量组等价，当且仅当

$$\lambda\ne-2 \quad\text{且}\quad \lambda\ne-1.$$

注意 $\lambda=1$ 也包含在条件 $\lambda\ne-2,-1$ 中，所以最终取值范围为

$$\boxed{\lambda\in\mathbb R,\quad \lambda\ne-1,\quad \lambda\ne-2.}$$

故选 C。

例 3.28：初等行变换后的参数范围

原资料提示：如果用充分必要条件做题，若求出多个解，需要代回验证，舍去冗余解；如果用必要条件做题，求出的解均是唯一的解，无需验证。最终结果一定要核准。

解答题解答题

$a$ 为常数，矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 1&a&1\\ 3&4&a \end{pmatrix}$$

经过初等行变换化为矩阵

$$B= \begin{pmatrix} 1&3&-3\\ 1&1&a\\ 2&3a&0 \end{pmatrix}.$$

求 $a$ 的取值范围。

解答

因为 $A$ 经过初等行变换化为 $B$，所以 $A,B$ 的行向量组等价，即

$$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.$$

先计算行列式：

$$|A|=(a+2)(a-1), \qquad |B|=-3(a+2)(a-1).$$

1. 当 $a\ne1$ 且 $a\ne-2$ 时，

   $$r(A)=r(B)=3.$$

   又有

   $$3=r(A)\le r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\le3,$$

   所以

   $$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=3,$$

   $A$ 和 $B$ 的行向量组等价。

2. 当 $a=-2$ 时，

   $$r(A)=r(B)=2, \qquad r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=3,$$

   所以 $A$ 和 $B$ 的行向量组不等价。

3. 当 $a=1$ 时，

   $$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=2,$$

   所以 $A$ 和 $B$ 的行向量组等价。

综上，

$$\boxed{a\ne-2}.$$

六、本地 Wolfram 精确核验

本地 WolframLanguageEvaluator 返回的关键结果如下。

1. 例 3.26

$$|A|=-(a-1)(a+1), \qquad |B|=2(a-1)(a+1).$$

异常点的三秩为

$$\begin{array}{c|ccc} a&r(A)&r(B)&r(A,B)\\ \hline -1&2&2&3\\ 1&2&2&2 \end{array}.$$

当 $a^2\ne1$ 时，$Ax=\beta_3$ 的唯一解为

$$x=(1,-1,1)^T.$$

2. 例 3.27

$$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3| =(\lambda-1)^2(\lambda+2),$$ $$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4| =(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2.$$

在 $\lambda=-2,-1,1$ 处，两向量组与合并向量组的秩依次为

$$\begin{array}{c|ccc} \lambda&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\\ \hline -2&2&3&3\\ -1&3&2&3\\ 1&1&1&1 \end{array}.$$

3. 例 3.28

$$|A|=(a-1)(a+2), \qquad |B|=-3(a-1)(a+2),$$

且

$$\begin{array}{c|ccc} a&r(A)&r(B)&r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ \hline -2&2&2&3\\ 1&2&2&2 \end{array}.$$

三处核验均与原资料结论一致。

七、考场速记

1. 等价 $\Longleftrightarrow$ 相互表示 $\Longleftrightarrow$ 张成空间相同。
2. 列向量组用横向拼接：$r(A)=r(B)=r(A,B)$。
3. 行向量组用纵向拼接：$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}$。
4. 已知单向可表示时，再加秩相等即可推出等价。
5. 初等行变换前后行向量组等价；初等列变换前后列向量组等价。
6. 参数秩问题必须检查行列式为零的全部异常点，不能只看一般参数情形。