误差传递函数零点阶数法技巧

习题 ：稳态误差的计算

设前馈控制系统如图所示，误差定义为 $e(t)=r(t)-c(t)$，试选择前馈参数 $\tau$ 和 $b$ 的值，使系统对输入 $r(t)$ 成为Ⅱ型系统。

解：

闭环传函：

$$\Phi(s)=\frac{K_1(\tau s+b)}{(T_1s+1)(T_2s+1)+K_1}=\frac{K_1(\tau s+b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}$$

特征方程：

$$D(s)=T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1$$

$n=2$ 且各项系数为正，因此系统是稳定的，存在稳态误差。

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法一（终值定理法）

根据误差定义 $e(t)=r(t)-c(t)$，可得

$$E(s)=R(s)-C(s)=R(s)[1-\Phi(s)]=R(s)\Phi_e(s)=\frac{T_1T_2s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1(1-b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}R(s)$$

欲使系统对输入 $r(t)$ 成为Ⅱ型系统，要求对速度输入的稳态误差为 0：

当 $R(s)=\dfrac{1}{s^2}$ 时，$e_{ss}(\infty)=0$

$$e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to 0}sE(s)=\lim_{s\to 0}\frac{T_1T_2s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1(1-b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}\cdot\frac{1}{s^2}=0$$ $$\therefore T_1+T_2-K_1\tau=0;\quad 1+K_1-K_1b=0$$

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法二（终值定理法）

同上推导得 $E(s)=\Phi_e(s)R(s)$，欲使系统为Ⅱ型，要求对加速度输入为非零常值稳态误差：

当 $R(s)=\dfrac{1}{s^3}$ 时，$e_{ss}(\infty)$ 为非零常值

$$e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to 0}\frac{T_1T_2s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1(1-b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}\cdot\frac{1}{s^3}\text{ 为非零常值}$$ $$\therefore T_1+T_2-K_1\tau=0;\quad 1+K_1-K_1b=0;\quad T_1T_2\ne 0$$

（系统稳定的情况下已满足 $T_1T_2\ne 0$ 的条件）

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法三（等效开环传函法）

存在等效单位负反馈系统开环传函使得

$$\Phi(s)=\frac{G'(s)}{1+G'(s)}\quad\therefore G'(s)=\frac{\Phi(s)}{1-\Phi(s)}=\frac{\dfrac{K_1(\tau s+b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}}{1-\dfrac{K_1(\tau s+b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}}=\frac{K_1(\tau s+b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1-K_1b}$$

Ⅱ型系统需有两个积分环节，故

$$T_1+T_2-K_1\tau=0;\quad 1+K_1-K_1b=0;\quad T_1T_2\ne 0$$

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法四（误差传递函数零点阶数法）

误差传递函数

$$\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=\frac{T_1T_2s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1(1-b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}$$

若系统为Ⅱ型，则误差传递函数分子含两个纯微分环节（$s^2$）

$$\therefore T_1+T_2-K_1\tau=0;\quad 1+K_1-K_1b=0;\quad T_1T_2\ne 0$$

（系统稳定的情况下已满足 $T_1T_2\ne 0$ 的条件）

则当选择前馈参数

$$\tau=\frac{T_1+T_2}{K_1},\quad b=1+\frac{1}{K_1}$$

时，系统对输入 $r(t)$ 成为Ⅱ型系统。

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误差传递函数零点阶数法技巧

系统型别也可由误差传递函数零点纯微分环节的个数判断，推导如下。

设负反馈系统开环传函

$$G(s)H(s)=\frac{M(s)}{s^\nu N(s)}$$

$\nu$ 为系统的型别，则有

$$\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}=\frac{1}{1+\dfrac{M(s)}{s^\nu N(s)}}=\frac{s^\nu N(s)}{s^\nu N(s)+M(s)}$$

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技巧总结

这题核心不是直接看原系统有没有积分环节，而是先求误差传递函数：

$$\Phi_e(s)=1-\Phi(s)$$

因为题目定义的是 $e(t)=r(t)-c(t)$，所以必须从 $E(s)=R(s)-C(s)$ 出发。

要让系统对输入 $r(t)$ 成为Ⅱ型系统，本质上就是让误差传递函数的分子最低阶从 $s^0$、$s^1$ 都消掉，只剩下从 $s^2$ 开始。

看到

$$\Phi_e(s)=\frac{T_1T_2s^2+(T_1+T_2-K_1\tau)s+1+K_1(1-b)}{T_1T_2s^2+(T_1+T_2)s+K_1+1}$$

要立刻想到：Ⅱ型系统对应误差传递函数分子含 $s^2$ 因子，因此常数项和一次项必须为 0。

直接令：

$$T_1+T_2-K_1\tau=0,\quad 1+K_1-K_1b=0$$

解得：

$$\tau=\frac{T_1+T_2}{K_1},\quad b=1+\frac{1}{K_1}$$

做这类题最快的方法：先求闭环传函 $\Phi(s)$，再求误差传函 $1-\Phi(s)$，最后看误差传递函数分子在 $s=0$ 处有几个零点。几个零点就相当于几个积分环节，也就是几型系统。