单位负反馈系统正弦输入下的稳态误差计算

例题

某单位负反馈系统的开环传递函数为：

$$G(s) = \frac{1}{s + 1}$$

若输入信号 $r(t) = \sin(t + 30°) - 2\cos(2t - 45°)$，试求系统的稳态误差。

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解

1. 误差传递函数

系统的闭环误差传递函数为：

$$\Phi_e(s) = \frac{1}{1 + G(s)} = \frac{s + 1}{s + 2}$$

2. 频率特性计算

对于正弦输入，输出幅值与相角的关系为：

• 输出幅值 = $A(\omega) \times$ 输入幅值
• 输出相角 = $\varphi(\omega) +$ 输入相角

其中频率特性为：

$$\Phi_e(j\omega) = \frac{j\omega + 1}{j\omega + 2}$$

当 $\omega = 1$ 时：

$$A(1) = \frac{\sqrt{10}}{5}, \quad \varphi(1) = 18.4°$$

当 $\omega = 2$ 时：

$$A(2) = \frac{\sqrt{10}}{4}, \quad \varphi(2) = 18.4°$$

3. 稳态误差结果

$$e_{\text{ss}}(t) = \frac{\sqrt{10}}{5}\sin\left(t + 48.4°\right) - \frac{\sqrt{10}}{2}\cos\left(2t - 26.6°\right)$$