牛顿迭代法手算开平方：从问题转化到二次收敛

1. 问题转化

求 $\sqrt{a}$，本质上不是”开方运算”，而是寻找一个数 $x$，使得：

$$x^2 = a$$

即这是一个非线性方程求根问题，可以统一写成：

$$f(x) = x^2 - a = 0$$

这样做的意义在于：把”代数运算问题”转化为”函数零点问题”，从而可以使用数值方法处理。

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2. 套牛顿迭代公式

牛顿法的核心来自一阶泰勒展开：

$$f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$$

用直线近似曲线，并令近似为零：

$$f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) = 0$$

整理得到：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

对于本题：

• $f(x) = x^2 - a$
• $f'(x) = 2x$

代入：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - a}{2x_n}$$

化简得到标准迭代形式：

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$$

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3. 手算示例：$\sqrt{2}$

Step 0：初值选择

取 $x_0 = 1$。

原因：$\sqrt{2} \approx 1.4$，初值只需”在附近即可”，牛顿法是局部收敛方法。

Step 1：第一次迭代（粗修正）

$$x_1 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{2}{1}\right) = \frac{3}{2} = 1.5$$

此时结果已从 $1 \to 1.5$，开始逼近真实值。

Step 2：误差快速压缩

$$x_2 = \frac{1}{2}\left(1.5 + \frac{2}{1.5}\right)$$

先算倒数项：

$$\frac{2}{1.5} = 1.3333$$

再平均：

$$x_2 = \frac{1}{2}(2.8333) = 1.4167$$

误差已明显缩小。

Step 3：进入高精度阶段

$$x_3 = \frac{1}{2}\left(1.4167 + \frac{2}{1.4167}\right)$$ $$\frac{2}{1.4167} \approx 1.4118$$ $$x_3 \approx 1.4142$$

此时已达到四位小数精度。

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4. 收敛结果

$$\sqrt{2} \approx 1.4142$$

牛顿法的关键特征：

误差不是线性减少，而是”平方级下降”。

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5. 手算规律总结

每一步迭代的本质：

$$x \leftarrow \frac{x + a/x}{2}$$

可以理解为：用”当前估计值”和”反推修正值”做平均。

• $x$：当前猜测
• $a/x$：从方程反推的修正方向

这种”对称平均”结构是收敛稳定性的关键来源。

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6. 为什么收敛很快

牛顿法在根附近满足：

$$e_{n+1} \approx C \cdot e_n^2$$

其中：

• $e_n$：当前误差
• $C$：常数

这意味着误差会被”平方压缩”，例如 $0.1 \to 0.01 \to 0.0001$。

因此只需要 $2 \sim 4$ 次迭代即可达到高精度。

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7. 总结

牛顿法开平方的本质：

用函数 $x^2 - a$ 的切线不断逼近零点，使问题从”非线性方程”转化为”线性局部修正”。