微分方程做题技巧总结

1. 分母为 0：一般不用专门讨论

做微分方程时，经常会出现分离变量：

$$\frac{du}{1+\sin u}=dx$$

这一步其实默认了 $1+\sin u\ne 0$，也就是可能漏掉某些特殊解。

但考研中一般只要求通解，不要求所有解，所以：

绝大多数情况下，不用专门讨论分母为 0。

只有当题目发现矛盾、无解，或者初值条件正好落在被除掉的情况时，才需要回头考虑分母为 0。

解答题例题 1

求微分方程 $dy=\sin(x+y+100)dx$ 的通解。

解答

令 $u=x+y+100$，则 $\dfrac{du}{dx}=1+\dfrac{dy}{dx}$，原方程化为：

$$\frac{du}{dx}=1+\sin u$$

分离变量：

$$\frac{du}{1+\sin u}=dx$$

恒等变形：

$$\frac{(1-\sin u)du}{1-\sin^2u}=dx \Rightarrow (\sec^2u-\tan u\sec u)du=dx$$

两边积分：

$$\tan u-\sec u=x+C$$

代回 $u=x+y+100$，得通解：

$$\tan(x+y+100)-\sec(x+y+100)=x+C$$

注：分离变量时默认了 $\sin u\ne -1$，回避了 $1+\sin u=0$ 的情况。当 $\sin u=-1$ 时，得 $x+y+100=2k\pi-\dfrac{\pi}{2}$（$k=0,\pm1,\pm2,\cdots$），这些是”奇解”。考研只要求通解，不需要讨论。

解答题例题 2（涉及可降阶微分方程，数三不要求）

移项后默认分母不为 0，发现方程无解或矛盾，这意味着分母必须为 0。

求方程 $\begin{cases}2yy''=y'^2+y^2,\\y(0)=1,\quad y'(0)=-1\end{cases}$ 的特解。

解答

令 $y'=p$，$y''=\dfrac{dp}{dy}p$，则：

$$2yp\frac{dp}{dy}=p^2+y^2$$ $$2\frac{p}{y}\frac{d\frac{p}{y}}{dy}=\left(\frac{p}{y}\right)^2+1$$

令 $\dfrac{p}{y}=u$，$p=yu$，$\dfrac{dp}{dy}=u+y\dfrac{du}{dy}$，则：

$$2u\left(u+y\frac{du}{dy}\right)=u^2+1$$ $$2yu\frac{du}{dy}=1-u^2$$

显然 $u=1$，$u=-1$ 均为原方程解（可代入上述验证），但由 $y(0)=1$，$y'(0)=-1$ 知，$u=-1$，即 $\dfrac{p}{y}=-1$。从而 $y=Ce^{-x}$，由 $y(0)=1$ 知，$C=1$，$y=e^{-x}$。

注：本例中移项后得到 $2yu\dfrac{du}{dy}=1-u^2$，默认了 $u\ne 1$ 和 $u\ne -1$。但代入初始条件后发现 $u=-1$ 正好是方程的解，这意味着分母必须为0的情况需要特殊考虑。当移项后出现矛盾（无解）或初值条件正好落在被除掉的情况时，需要回头考虑分母为0。

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2. 出现 $\ln$ 时，绝对值一般怎么处理？

2.1 可分离变量方程

标准写法是 $\displaystyle\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$。

但在微分方程中，很多时候最后可以把绝对值和正负号吸收到常数 $C$ 里。

例如：

$$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$$

积分得：

$$\ln|y|=\ln|x|+C_1$$

可得：

$$|y|=e^{C_1}|x|$$

因为 $e^{C_1}>0$，再把正负号吸收到常数里：

$$y=Cx$$

所以技巧是：

两边都有 $\ln$ 时，正负号可以从 $C$ 上借。

也可以把 $+C$ 写成 $+\ln C$，这样计算更快。

解答题例题 3（超纲，考研数学从未出现过无理数的情况。了解即可）

若无理数作为指数，则底数必须非负。求解微分方程 $\sqrt{2}\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}$。

解答

$$\sqrt{2}\ln|y|=\ln|x|+\ln C$$ $$|y|^{\sqrt{2}}=C|x|$$

当指数为无理数时，底数必须非负，即 $|y|^{\sqrt{2}}$ 中 $|y|$ 不能为负。这是超纲内容，考研中不会出现，但了解此性质有助于理解绝对值的重要性。

2.2 一阶线性微分方程公式法

一阶线性微分方程：

$$y'+p(x)y=Q(x)$$

通解公式：

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$$

在使用公式法时，如果 $\displaystyle\int p(x)dx$ 算出来是 $\ln$，一般不用太纠结绝对值。

考场技巧：

公式法里遇到 $\int p(x)dx$ 出现 $\ln$，99.99% 情况不用过度讨论绝对值。

但要注意一种特殊情况：如果最后会出现偶数次根号，比如：

$$e^{\frac12\ln|x|}=\sqrt{|x|}$$

这时绝对值不能乱丢。

解答题例题 4

求解微分方程 $y'-\dfrac{1}{2x}y=x$。

解答

使用公式法：

$$y=e^{\int \frac{1}{2x}dx}\left(\int xe^{-\int \frac{1}{2x}dx}dx+C\right)$$

由于出现 $\sqrt{|x|}$，必须保留绝对值：

$$y=\sqrt{|x|}\left(\int \frac{x}{\sqrt{|x|}}dx+C\right)$$

当 $x>0$ 时，$y=\dfrac{2}{3}x^2+C\sqrt{x}$；

当 $x<0$ 时，$y=\dfrac{2}{3}x^2+C\sqrt{-x}$。

综上：

$$y=\frac{2}{3}x^2+C\sqrt{|x|}$$

若没有考虑绝对值，则结果为 $y=\dfrac{2}{3}x^2+C\sqrt{x}$，这默认了 $x\ge 0$，是错误的。

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3. 常数 $C$：默认是任意常数

一般不需要特别说明 ”$C$ 为任意常数”，因为默认 $C$ 就是任意常数。

但如果你在运算中把 $+C$ 写成 $+\ln C$，此时这个 $C$ 一般要求 $C>0$。不过最后通常会重新改写成任意常数。

技巧：

只要最后写成普通的 $C$，一般默认它是任意常数。

但如果最终答案里明确要求 $C>0$，或者常数出现在指数、根号等有限制的位置，就要标注范围。

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4. 解的形式：不一定要显式解

微分方程最后的解不一定非要写成 $y=f(x)$，也可以写成隐式形式 $F(x,y)=0$。

只要最终结果中不含微分符号即可。

填空题例题 5（2024 数一数二真题）

微分方程 $y'=\dfrac{1}{(x+y)^2}$ 满足条件 $y(1)=0$ 的解为________。

解答

令 $u=x+y$，则 $\dfrac{du}{dx}=1+\dfrac{dy}{dx}$，原方程化为：

$$\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{u^2}=\frac{1+u^2}{u^2}$$

分离变量：

$$\left(1-\frac{1}{1+u^2}\right)du=dx$$

积分得：

$$u-\arctan u=x+C$$

由 $y(1)=0$ 得 $u(1)=1$，代入得 $C=-\dfrac{\pi}{4}$。

代回 $u=x+y$，整理得：

$$\boxed{y-\arctan(x+y)+\frac{\pi}{4}=0}$$

填空题例题 6（2025 考研数二真题）

微分方程 $(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为________。

解答

整理得 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y-3x}{5y-2x}=\dfrac{2\frac{y}{x}-3}{5\frac{y}{x}-2}$，令 $u=\dfrac{y}{x}$，化为可分离变量方程，最终得：

$$\boxed{5y^2-4xy+3x^2-4=0}$$

技巧：

最终结果不含 $dy,dx,y'$ 等微分形式即可，不一定要解出 $y=\cdots$。隐式解也可以。

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考场速记版

问题	考场处理
分母为 0	一般不讨论，除非题目出现矛盾或特殊初值
$\ln\|x\|$	两边都有 $\ln$ 时，正负号可由 $C$ 吸收
$+C$	可写成 $+\ln C$，方便指数化
一阶线性公式法	$\int p(x)dx$ 出现 $\ln$，多数不用纠结绝对值
偶数次根号	必须注意绝对值，如 $\sqrt{\|x\|}$
常数 $C$	默认任意常数，特殊范围才标注
最终答案	不含微分即可，隐式解也可以

最重要的两个坑

坑 1：根号不能随便去绝对值

$$e^{\frac12\ln|x|}=\sqrt{|x|} \ne \sqrt{x}$$

坑 2：最终答案不一定要显式

看到答案是 $F(x,y)=0$ 不要以为没解完。只要不含微分，就是可以的。