利用奇偶性简化二阶非齐次微分方程特解计算

来源：邂逅遗憾 26考研数学思维课第四章：微分方程

核心思想

在求解 $y''+y=x\sin x$ 的通解时，需设特解：

y^*=x[(A_1x+B_1)\cos x+(A_2x+B_2)\sin x]

之后将其代入方程，对 4 个待定系数进行求解，计算量很大。但若结合奇偶性，则可大大减轻计算量！

注意到 $x\sin x$ 为偶函数：

于是可知 $y$ 为偶函数，即 $y^*$ 也为偶函数。观察特解形式，显然：

B_1=0,\quad A_2=0

于是只需要将 $y^*=x(A_1x\cos x+B_2\sin x)$ 代入原方程，求解两个参数 $A_1$ 和 $B_2$ 即可。

理论上，若 $y$ 非奇非偶， $y+y''$ 仍可能具有奇偶性，但解特解时不会出现此情况。当结论记住即可。

解答题例题 1（1991 考研真题）

求微分方程 $y''+y=x+\cos x$ 的通解。

解答

分析本题中的微分方程的非齐次项 $x+\cos x$ 并不能直接写出其对应的特解形式。可以把它分解为 $x$ 和 $\cos x$ 之和，分别写出 $y''+y=x$ 和 $y''+y=\cos x$ 的一个特解，再由线性微分方程解的叠加原理得到原方程的一个特解。

原方程对应的齐次方程的特征方程为 $r^2+1=0$ ，特征根为 $r_{1,2}=\pm\text{i}$ 。于是齐次方程的通解为：

y=C_1\cos x+C_2\sin x

考虑 $y''+y=x$ 的特解：

注意到非齐次项 $x=x\text{e}^{\lambda x}$ ， $\lambda=0$ 。由于 $\lambda=0$ 不是特征方程的根，故可设 $y^*=A_1x+A_2$ 。 $(y^*)''=0$ ，代入 $y''+y=x$ 可得 $y^*=x$ 。

考虑 $y''+y=\cos x$ 的特解：

注意到非齐次项 $\cos x=\text{e}^{\lambda x}\cos\omega x$ ， $\lambda=0$ ， $\omega=1$ 。由于 $\lambda\pm\omega\text{i}=\pm\text{i}$ 是特征方程的单根，故可设：

y^*=x(B_1\cos x+B_2\sin x)

利用奇偶性： $\cos x$ 为偶函数 $\Rightarrow$ $y^*$ 为偶函数 $\Rightarrow$ $B_1=0$ 。

分别计算 $(y^*)'$ ， $(y^*)''$ ：

\begin{align*} (y^*)' &= B_2\sin x+B_2x\cos x \\ (y^*)'' &= 2B_2\cos x-B_2x\sin x \end{align*}

于是：

(y^*)''+y^*=2B_2\cos x=\cos x

解得 $B_2=\dfrac{1}{2}$ ，因此 $y^*=\dfrac{1}{2}x\sin x$ 。

原方程的通解为：

\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x+x+\frac{1}{2}x\sin x}

此思想非常重要！几乎任意一道涉及到三角函数的二阶非齐次微分方程，都可用此方法大大减轻计算量。

即使作为大题，在设出 $y^*$ 的形式后，可以直接在答题卡上写”将其代入原方程，解得 $B_1=0$ ， $B_2=\dfrac{1}{2}$ “，中间的计算过程并不是采分点。