1997 年上海交通大学 816 自动控制原理 参考答案

来源：1996-2023年上海交通大学答案.pdf 第 8-16 页 说明：逐字录入原件文字，原扫描件斜向红色水印已剔除。 注：第四题解中开环极点数原文写为 $P=2$（开环传递函数有 $s=0, 1, 2$ 三个极点，右半平面极点数为 2）；第六题评注 1 标题原文印为【标注】。

---

上海交通大学一九九七年攻读硕士学位研究生

入学考试试题参考答案

注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、【分析】本题考查为电机构成的位置随动系统的数学建模问题。

【解】$e=K_s(\theta_i-\theta_o) \qquad E(s)=K_s(\theta_i(s)-\theta_o(s))$

$e_f=K_1 e \qquad E_f(s)=K_1 E(s)$

$e_f=R_f i_f + L_f \dfrac{di_f}{dt} \qquad E_f(s)=R_f I_f(s)+L_f s I_f(s)$

$T_m=K_t i_f \qquad T_m=K_t I_f(s)$

$T_m=J_m \dfrac{d^2\theta_m}{dt^2}+B\dfrac{d\theta_m}{dt} \qquad T_m=J_m s^2\theta_m(s)+Bs\theta_m(s)$

$\theta_o=K_2 \theta_m \qquad \theta_o=K_2 \theta_m(s)$

故而根据所列分式，便可得到系统方框图。

【评注】1. 系统建模一直是交大考查的重点题型之一，但已许久不考对于电机的系统建模题，但不意味着可以放弃该类题目的学习，首先应该对于交大教材 P40 的题型来进行把握，其次结合该题来进行重点分析。

2. 画出系统的方块图是近年来交大每年的必考题型，也是极为简单的。首先，列出关于系统的时域方程，之后进行拉氏变换，根据每一个式子，进行方块图的绘制，同时不要漏掉负反馈的负号，该种题型可以多练习，便可以得到满分。

3. 系统建模，交大四种命题类型：（1）电热炉（2）水箱（3）电机（4）常规物理题型，在以后的答案中会相继出现。

二、【分析】本题考查常规根轨迹的画法以及闭环系统特征根的求法。

【解】系统开环传递函数为：

$G(s)H(s)=\dfrac{k(s+4)}{s^2(s+2)(s+4)} \quad \text{（切忌不要进行零极点对消）}$

①系统存在四个开环极点和一个开环零点 $s_{1,2}=0$，$s_3=-4$，$s_4=-2$，$z_1=-4$

②实轴上的根轨迹频段 $(-\infty,-4)$， $(-4,-2)$

③渐近线 $\begin{cases} \sigma_a=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^4 P_i-\sum\limits_{j=1}^1 z_j}{n-m}=-\dfrac{2}{3} \\ \theta_a=\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m}=\pm 60^\circ, 180^\circ \end{cases}$

则绘制系统的根轨迹为

由根轨迹法：当 $k=1$ 时，$s$

系统的特征方程为：

$D(s)=(s+4)(s+a)\left[(s-b)^2+c^2\right]=(s+4)(s^3+2s^2+1)$

由根轨迹知系统有两个实根和两个复根

得 $s_{1,2}=0.103\pm 0.663j \quad s_3=-2.206 \quad s_4=-4$

【评注】1. 用根轨迹法求闭环系统极点做题步骤大致为：画出系统的根轨迹，通过根轨迹来确定系统有几个实根，几个复根来进行特征方程的假设，之后令 $k=1$，使假设的特征方程等于系统的闭环特征多项式，即可得到闭环系统的极点。

2. 如今交大考查求闭环极点，几乎已不用根轨迹法，因其具有较大的局限性，但是，这种假设特征方程与闭环特征多项式相等的方法值得我们学习，这种方法在以后的考研真题中也会有所涉及，请大家学习这种良好的做题方法。

三、【分析】本题考查绘制根轨迹的方法以及确定阻尼振荡的系数范围。

【解】系统的闭环传递函数为：$D(s)=(1+2T)s^2+(2T+2)s+2$

所以系统的等效开环传递函数为：$G(s)=\dfrac{2Ts(s+1)}{s^2+2s+2}$

①系统具有两个极点 $P_1=-1+j$，$P_2=-1-j$ 具有两个零点 $z_1=0$，$z_2=-1$

②系统的分离点 $dG(s)H(s)/ds=0 \qquad s_1=-2+\sqrt{2} \quad s_2=-2-\sqrt{2}\text{（舍）}$

代入 $f(s)$ 中可得令其等于零可知 $T=2.42$

③实轴根轨迹：$(-1 \quad 0)$

做系统的根轨迹图，得以下图示：

由图可知闭环系统具有阻尼振荡的 $T$ 的范围为：$0<T<2.42$

【评注】1. 描绘系统的根轨迹时，有极点、零点、渐近线与虚轴交点、分离点、出射角、入射角几种特征数值描绘。根据初始零点极点位置和个数来判断根轨迹的大致走向，以及实轴上的根轨迹频段。这几个数值根据根轨迹的情况来求其中若干个，需具有较规范的做题步骤，列法如下：

①极点 $p_1=\cdots$，$p_n=\cdots$

零点 $z_1=\cdots$，$z_m=\cdots$

②实轴上的根轨迹：$(\quad,\quad)$

③渐近线 $\begin{cases} \sigma_a=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n P_i-\sum\limits_{j=1}^m z_j}{n-m} \\ \theta_a=\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m} (k=1,2,\cdots,n) \end{cases}$

④系统的分离点：$d[G(s)H(s)]/ds=0$

⑤与虚轴的交点：$s=j\omega$ 代入闭环特征多项式 $D(s)$

⑥出射角：$\theta_p=\pi+(\phi_1+\cdots+\phi_m)-(\theta_1+\cdots+\theta_{n-1})$

入射角：$\phi_z=\pi-(\phi_1+\cdots+\phi_{m-1})+(\theta_1+\cdots+\theta_n)$

2. 系统的欠阻尼状态，具有系统振荡，也即 $0<\xi<1$ 时，那么对应着根轨迹图使是有复数根的部分。类比 96 年真题，无超调量的问法，$\xi>1$ 时的状况，大家应在做题是，注意题目的归类总结。

四、【分析】本题考查使用奈氏判据来判定系统的稳定性。

【解】由系统框图得到系统的开环传递函数为：

$G(s)H(s)=\dfrac{2(s+3)(s-2)}{s(s-1)(s-2)} \text{（不可进行零极点对消）} \quad P=2$

当 $\omega\to 0^+$ 时，$G(j\omega)H(j\omega)\to \infty\angle -270^\circ$

当 $\omega\to\infty$ 时，$G(j\omega)H(j\omega)\to 0\angle -90^\circ$

当 $s=j\omega$ 时，$G(j\omega)H(j\omega)=\dfrac{-8\omega^2}{\omega^4+\omega^2}+2j\dfrac{(3\omega-\omega^3)}{\omega^4+\omega^2}=X(\omega)+jY(\omega)$

令 $Y(\omega)=0$ 得 $\omega=\sqrt{3}$，此时 $X(\omega)=-2$

渐近线 $\omega=0 \quad X(\omega)=-8$，$Y(\omega)=\infty$

得到奈氏曲线如下所示：

I型系统用补线法补四分之一的圆

可得图示 $Z=P-R=P-2N=P-2(N_+-N_-) \qquad N_+=1 \quad N_-=0.5$

$Z=2-1=1$ 因此系统不稳定

【评注】1. 利用奈氏判据来判别闭环系统的稳定性是极为常规的考试题目。2019 年上海交通大学研究生入学考试中便有着深入的考查，不同的是，2019 年考题需要进行分类讨论，更加的麻烦。这也便说明，同学们在学习的过程中，应与年份较久的真题结合，不应忽视这种题型。

2. 利用奈氏判据来判别稳定性，必记公式为 $Z=P-R=P-2N=P-2(N_+-N_-)$ 但注意看书的同学会发现，交大的课本的公式为 $Z=P+R=P+2N$，与市面上现有的自控书籍都背道而驰。但仔细看来，用加号或减号 只是记法上的不同，详情请见交大教材 P140 奈氏判据小节和胡寿松第六版自控课本 P205（5-74），同学可以仔细对比，来进行记忆。但最好使用常规公式 $Z=P-R=P-2N=P-2(N_+-N_-)$，原因有几点：第一，该公式是大部分书籍的规定公式；其次，虽然交大课本中中间为加号，但出书人不等同与出题人，出题人的答案也使用的是 $Z=P-R$ 而不是 $Z=P+R$。希望同学们无论记哪个公式，都必须深入理解，重点把握。

五、【分析】本题考查非线性系统的建模和相平面图的绘制。

【解】$\begin{cases} \ddot{x}=0 & |x|<a \\ k(x-a)=-m\ddot{x} & x>a \\ k(x+a)=-m\ddot{x} & x<-a \end{cases} \implies \begin{cases} \dot{x}=A, \text{当}|x|<a, \text{其中}A\text{为常数} \\ \dfrac{d\dot{x}}{dx}=-\dfrac{k(x-a)}{m\dot{x}} \text{奇点为}(a,0) \text{当}x>a \\ \dfrac{d\dot{x}}{dx}=-\dfrac{k(x+a)}{m\dot{x}} \text{奇点为}(-a,0) \text{当}x<-a \end{cases}$

则 $x-\dot{x}$ 的相平面如下.

初始: $x=0 \quad \dot{x}=1$

【评注】1. 本题是一道极好的题目，既与系统的物理建模相联系，又与非线性系统的相轨迹相结合，与常规的由方块图来画出相轨迹的基本题型不同，该题先受力分析，之后再得到相轨迹的做图公式，相轨迹应标注好其走势的方向。

2. $\ddot{x}=0$ 那么 $\dot{x}=A$ 为常数，那么便是一条平行于横轴的直线。

$\dfrac{d\dot{x}}{dx}=-\dfrac{k(x-a)}{m\dot{x}} \qquad \dot{x}d\dot{x}=-\dfrac{k}{m}(x-a)dx \qquad \dot{x}^2=-\dfrac{k}{m}(x-a)^2+A_1$，以 $(a,0)$ 为椭圆中心。

$\dfrac{d\dot{x}}{dx}=-\dfrac{k(x+a)}{m\dot{x}} \qquad \dot{x}d\dot{x}=-\dfrac{k}{m}(x+a)dx \qquad \dot{x}^2=-\dfrac{k}{m}(x+a)^2+A_2$，以 $(-a,0)$ 为椭圆中心。

学会进行这些最基本的化简，需通过多做题来练习 一开始可能生疏，多做题、多理解，便可以拿下该题。

六、【分析】本题考查将系统框图转化成信号流图，之后用梅逊公式来求传递函数。

【解】将方块图改成信号流图得如下：

系统的回路：$L=\dfrac{-3}{s(s+1)}\cdot\dfrac{K}{0.2s+1}$，$\Delta=1+\dfrac{3K}{s(0.2s+1)(s+1)}$

系统的前向通道：$P_1=\dfrac{3}{s(s+1)}$，$\Delta_1=1$

$P_2=\dfrac{-3KG}{s(s+1)(0.2s+1)}$，$\Delta_2=1$

$\dfrac{C(s)}{N(s)}=\dfrac{3(0.2s+1)-3KG}{s(0.2s+1)(s+1)+3K}$

$c(\infty)=\lim_{s\to 0}sC(s)=\lim_{s\to 0}s\cdot\dfrac{N}{s}\cdot\dfrac{3(0.2s+1)-3KG}{s(0.2s+1)(s+1)+3K}=\dfrac{3-3KG}{3K}=0$

因此，只有当 $3-3KG=0$，也即 $KG=1$ 时，扰动影响为零。

【标注】1. 本题将系统的信号流图画出，做题时一目了然。当然也可以不画信号流图，直接用方块图来做。但信号流图做题更加可以增加正确率，同学们可以斟情选择，但试题不做要求时，则不必在答题纸上绘制信号流图。

2. 用梅逊公式来求系统的传递函数，不要漏掉前向通路、回路及不接触回路、结构图等效画法多种多样，但结果唯一。

3. 求扰动误差函数时，应将 $R(s)=0$，之后用梅逊公式 $G(s)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n P_i\Delta_i}{\Delta}$

七、【分析】本题考查将传递函数写成串联和并联的形式，并根据系统的状态图列状态空间表达式。

【解】将传递函数写成串联形式为：

$G(s)=\dfrac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{2}{s+1}\times\dfrac{s+3}{s+2}=\dfrac{2}{s+1}\times\left[1+\dfrac{1}{s+2}\right]$

对应的系统状态图如图所示：

由图可得如下公式：

$$\begin{cases} \dot{x}_1=-x_1+2(u-x_1-x_2)=-3x_1-2x_2+2u \\ \dot{x}_2=x_1-2x_2 \\ y=x_1+x_2 \end{cases}$$

状态空间表达式可列为

$$\begin{cases} \dot{x}=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}u \\ y=\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}x \end{cases}$$

将传递函数写成并联形式 $G(s)=\dfrac{2(s+3)}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{4}{s+1}+\dfrac{-2}{s+2}$

状态图如图所示：

由图可得 如下公式

$$\begin{cases} \dot{x}_1=-x_1+4(u-x_1-x_2)=-5x_1-4x_2+4u \\ \dot{x}_2=-2x_2-2(u-x_1-x_2)=2x_1-2u \\ y=x_1+x_2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \dot{x}=\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}u \\ y=\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}x \end{cases}$$

【评注】1. 本题考查将传递函数写成串联和并联的形式，串联相乘，并联相加，把握这两个原则，那么便可以掌握该题。

2. 写成串联和并联形式后，应学会画出系统的状态图，由状态图进一步列写系统的状态空间表达式，这些题型都极为基础，同学们应好好学习这些方法，以便在考研试题中拿下该种题目。

八、【分析】本题考查完全可控系统的极点配置问题。

【解】判别系统的可控性

$rank P_c=rank\begin{pmatrix} 2 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -5 \end{pmatrix}=rank\begin{pmatrix} b, Ab, A^2b \end{pmatrix}=3=n$

所以系统完 全可控。

设系统反馈阵 $k=(k_1, k_2, k_3)$ 那么 $|sI-(A-bk)|=(s+1)(s+2)^2$

那么可得 $k_1=0.8$，$k_2=-0.2$，$k_3=0.4$

故而可得状态反馈阵 $k=(0.8, -0.2, 0.4)$