求满足 BA=E 的矩阵 B 及 AB 的特征值（李艳芳900）

题目

设

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

(I) 求所有满足 $BA=E$ 的矩阵 $B$，并求 $AB$ 的特征值； (II) 在满足 $BA=E$ 的基础上，找到一个矩阵 $B$，使得 $AB$ 有一个特征向量为 $\beta = (1, 2, 3)^T$。

考点

• 矩阵方程 $BA=E$ 的求解
• 利用 $ABA=A$ 推导特征值
• 特征向量的定义与应用

解答

(I) 注意到 $BA=E$ 等价于 $A^T B^T = E$，故可以考虑求矩阵方程 $A^T X = E$ 的解。对增广矩阵 $(A^T, E)$ 作初等行变换：

$$(A^T, E) = \left( \begin{array}{ccc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{r_2-r_1} \left( \begin{array}{ccc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right)$$

由上可知，$A^T x = 0$ 等价于

$$\begin{cases} x_1 - x_3 = 0, \\ x_2 + x_3 = 0, \end{cases}$$

故该方程组的一个基础解系可取 $(1, -1, 1)^T$。 $A^T x = (1, 0)^T$ 的一个特解为 $(0, 1, 0)^T$，通解为 $k_1(1, -1, 1)^T + (0, 1, 0)^T$； $A^T x = (0, 1)^T$ 的一个特解为 $(1, -1, 0)^T$，通解为 $k_2(1, -1, 1)^T + (1, -1, 0)^T$。 故

$$B = \begin{pmatrix} k_1 & -k_1+1 & k_1 \\ k_2+1 & -k_2-1 & k_2 \end{pmatrix},$$

其中 $k_1, k_2$ 为任意常数。 由 $BA=E$，故 $ABA=A$。记 $A = (\alpha_1, \alpha_2)$，则

$$AB(\alpha_1, \alpha_2) = (\alpha_1, \alpha_2).$$

于是，1 至少为 $AB$ 的二重特征值，且 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $AB$ 属于特征值 1 的两个线性无关特征向量。 又 $AB$ 为三阶矩阵，且

$$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} \leq 2,$$

所以 $AB$ 不满秩，0 为 $AB$ 的一个特征值。因此，$AB$ 的特征值为 1, 1, 0。

(II) 因为

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} \neq 0,$$

所以 $(1, 2, 3)^T$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，故若 $(1, 2, 3)^T$ 为 $AB$ 的一个特征向量，则 $(1, 2, 3)^T$ 为 $AB$ 属于特征值 0 的特征向量。于是

$$AB \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0.$$

注意到 $r(A)=2$，$A$ 为列满秩矩阵，故方程组 $Ax=0$ 只有零解，从而 $ABx=0$ 等价于 $Bx=0$。于是

$$\begin{cases} k_1 - 2k_1 + 2 + 3k_1 = 0, \\ k_2 + 1 - 2k_2 - 2 + 3k_2 = 0, \end{cases}$$

解得 $k_1 = -1, k_2 = \frac{1}{2}$。所求矩阵为

$$B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$