正交矩阵与线性方程组通解

题目

设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$ 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 $B = \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T \end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k$ 表示任意常数，则线性方程组 $Bx = \beta$ 的通解 $x =$ （ ）

(A) $\alpha_3 + \alpha_3 + \alpha_4 + k\alpha_1$ (B) $\alpha_1 + \alpha_3 + \alpha_4 + k\alpha_2$ (C) $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 + k\alpha_3$ (D) $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + k\alpha_4$

考点

• 正交矩阵的性质 ($A^TA=E$)
• 非齐次线性方程组通解的结构 (特解 + 导出组通解)
• 向量组的正交性

解答

答案：D

解析：

本题主要考查正交矩阵的性质和线性方程组的解。

1. 求 $Bx=0$ 的通解（导出组的基础解系） 由于 $A$ 为正交矩阵，故 $A^TA = E$，即 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$（当 $i=j$ 时为 1，当 $i \neq j$ 时为 0）。这意味着 $A$ 的列向量都是单位向量，且两两正交。

   考虑方程 $Bx = 0$，即：

   $$\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

   这等价于 $\alpha_1^T x = 0, \alpha_2^T x = 0, \alpha_3^T x = 0$。也就是说，$x$ 必须与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 都正交。

   因为 $A$ 是 4 阶正交矩阵，其列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 构成 $\mathbb{R}^4$ 的一组标准正交基。根据正交性质，$\alpha_4$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均正交，即满足上述方程组。

   矩阵 $B$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，且行向量线性无关（因为是正交向量的一部分），所以 $r(B)=3$。未知数个数 $n=4$，故基础解系中解向量的个数为 $n - r(B) = 4 - 3 = 1$。

   因此，$Bx=0$ 的通解为 $k\alpha_4$，其中 $k$ 为任意常数。

2. 求 $Bx=\beta$ 的一个特解 我们需要找到一个向量 $x_p$ 使得 $Bx_p = \beta$。观察选项，尝试 $x_p = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$。

   代入验证：

   $$B(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T \end{pmatrix} (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$$

   计算第一分量：

   $$\alpha_1^T (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = \alpha_1^T \alpha_1 + \alpha_1^T \alpha_2 + \alpha_1^T \alpha_3$$

   利用正交矩阵性质 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$：

   $$= 1 + 0 + 0 = 1$$

   同理，第二分量：

   $$\alpha_2^T (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = 0 + 1 + 0 = 1$$

   第三分量：

   $$\alpha_3^T (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = 0 + 0 + 1 = 1$$

   所以：

   $$B(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta$$

   故 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 是 $Bx=\beta$ 的一个特解。

3. 写出通解 非齐次线性方程组的通解 = 特解 + 导出组通解。

   $$x = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + k\alpha_4$$

   故选 D。