2022超越模拟卷例3.5(6) 向量组的秩

题目

设4维非零向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，满足

$$\begin{cases} \alpha_1 = \alpha_2 + 2\alpha_3 - \alpha_4 \\ \alpha_2 = \alpha_1 + 2\alpha_3 + 5\alpha_4 \\ \alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2 + 4\alpha_4 \\ \alpha_4 = \alpha_1 + 4\alpha_2 + \alpha_3 \end{cases}$$

则向量组的秩 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) =$ （ ）.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

考点

• 利用矩阵乘法表示向量关系
• 利用秩的不等式 $r(A)+r(B) \le n$ 进行估算
• 非零向量的性质

解答

答案：选 (A)

解析： 记 $A=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，由已知的向量表示可知：

$$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 5 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$

记作 $A=AB$，从而 $A(B-E)=O$。 根据秩的性质有 $r(A)+r(B-E) \le 4$。 又因为

$$B-E = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$

经计算可得 $r(B-E)=3$，故 $r(A) \le 1$。 又因为 $A \ne O$（已知为非零向量组），从而 $r(A) \ge 1$，所以 $r(A)=1$。

另解（齐次方程组法）： 将已知等式移项整理得：

$$\begin{cases} \alpha_1 - \alpha_2 - 2\alpha_3 + \alpha_4 = 0 \\ -\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3 - 5\alpha_4 = 0 \\ -2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 - 4\alpha_4 = 0 \\ -\alpha_1 - 4\alpha_2 - \alpha_3 + \alpha_4 = 0 \end{cases}$$

写成矩阵形式为 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) B = O$，其中

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -4 \\ -2 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$

计算可得 $r(B)=3$。 由 Sylvester 不等式 $r(A)+r(B) \le 4$，得 $r(A) \le 1$。 又因 $\alpha_i$ 为非零向量，故 $r(A) \ge 1$，因此 $r(A)=1$。