2016年考研数学二真题第8题

题目

设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3$ 的正、负惯性指数分别为 1, 2，则 ( )

(A) $a > 1$ (B) $a < -2$ (C) $-2 < a < 1$ (D) $a = 1$ 或 $a = -2$

考点

• 二次型的标准形与规范形
• 正、负惯性指数的定义
• 利用特征值判断正负惯性指数
• 对称矩阵的特征值计算

解答

方法一：利用特征值性质

1. 写出二次型的矩阵 二次型 $f(x_1, x_2, x_3)$ 对应的对称矩阵为 $A$： $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

2. 计算特征多项式 计算 $|\lambda E - A|$： $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a & -1 & -1 \\ -1 & \lambda - a & -1 \\ -1 & -1 & \lambda - a \end{vmatrix}$ 令 $\lambda - a = t$，则行列式变为： $\begin{vmatrix} t & -1 & -1 \\ -1 & t & -1 \\ -1 & -1 & t \end{vmatrix}$ 将第2列和第3列加到第1列： $\begin{vmatrix} t-2 & -1 & -1 \\ t-2 & t & -1 \\ t-2 & -1 & t \end{vmatrix} = (t-2) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & t & -1 \\ 1 & -1 & t \end{vmatrix}$ 第2行减第1行，第3行减第1行： $(t-2) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & t+1 & 0 \\ 0 & 0 & t+1 \end{vmatrix} = (t-2)(t+1)^2$ 代回 $t = \lambda - a$，得到特征多项式为： $(\lambda - a - 2)(\lambda - a + 1)^2 = 0$ 因此，矩阵 $A$ 的特征值为： $\lambda_1 = a + 2, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = a - 1$

3. 根据正负惯性指数确定 $a$ 的范围 题目已知正、负惯性指数分别为 1, 2。

   • 正惯性指数为 1，意味着有 1 个正特征值。
   • 负惯性指数为 2，意味着有 2 个负特征值。

   由于有两个特征值相等 ($a-1$)，且负惯性指数为 2，说明这两个相等的特征值必须为负数，即： $a - 1 < 0 \implies a < 1$

   剩下的那个特征值 ($a+2$) 必须为正数，即： $a + 2 > 0 \implies a > -2$

   综上所述，$a$ 的取值范围为： $-2 < a < 1$

方法二：利用矩阵分解（图片手写部分）

1. 矩阵分解 矩阵 $A$ 可以写成： $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} + (a-1)E$ 令 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，则 $A = B + (a-1)E$。

2. 求 $B$ 的特征值 矩阵 $B$ 的秩 $r(B)=1$，且迹 $tr(B)=3$。 对于秩为 1 的矩阵，非零特征值等于其迹，其余特征值为 0。 所以 $B$ 的特征值为 $\lambda_{B1}=3, \lambda_{B2}=0, \lambda_{B3}=0$。

3. 求 $A$ 的特征值 根据矩阵平移性质，若 $B$ 的特征值为 $\mu_i$，则 $B+kE$ 的特征值为 $\mu_i+k$。 这里 $k = a-1$，所以 $A$ 的特征值为： $\lambda_{A1} = 3 + a - 1 = a + 2$ $\lambda_{A2} = 0 + a - 1 = a - 1$ $\lambda_{A3} = 0 + a - 1 = a - 1$

4. 确定范围 同样根据正负惯性指数为 1, 2，可知有一个正特征值和两个负特征值。 因为有两个相同的特征值 $a-1$，若它们为正，则正惯性指数至少为 2，不符；故它们必为负。 $\begin{cases} a - 1 < 0 \\ a + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a < 1 \\ a > -2 \end{cases}$ 即 $-2 < a < 1$。

故选 (C)。