证明3阶矩阵A可相似对角化

题目

设 3 阶矩阵 $A$ 满足 $r(A - 2E) < r(A - E) < r(A)$，证明 $A$ 可相似对角化。

考点

• 利用矩阵的秩确定特征值的几何重数
• 判断特征值的代数重数与几何重数是否相等
• 矩阵可对角化的充要条件

解答

证明：

1. 分析秩的可能取值 已知 $A$ 为 3 阶矩阵，则 $r(A) \le 3$。 根据题意 $r(A - 2E) < r(A - E) < r(A)$，这三个秩均为整数，且严格递增。 可能的组合只有两种情况：

   • 情况一：$0 < 1 < 2$，即 $r(A - 2E)=0, r(A - E)=1, r(A)=2$
   • 情况二：$0 < 1 < 3$，即 $r(A - 2E)=0, r(A - E)=1, r(A)=3$
   • 情况三：$0 < 2 < 3$，即 $r(A - 2E)=0, r(A - E)=2, r(A)=3$
   • 情况四：$1 < 2 < 3$，即 $r(A - 2E)=1, r(A - E)=2, r(A)=3$

   若 $r(A - 2E) = 0$，则 $A - 2E = O$，即 $A = 2E$。 此时 $r(A - E) = r(2E - E) = r(E) = 3$，且 $r(A) = r(2E) = 3$。 这导致 $r(A - E) = r(A) = 3$，不满足题设条件 $r(A - E) < r(A)$。 因此，$r(A - 2E) \neq 0$。

   综上所述，唯一满足条件的情况是： $r(A - 2E) = 1, \quad r(A - E) = 2, \quad r(A) = 3$

2. 分析特征值 2 的性质 因为 $r(A - 2E) = 1 < 3$，所以 $|A - 2E| = 0$，故 $\lambda_1 = 2$ 是 $A$ 的特征值。 对应于特征值 2 的线性无关特征向量的个数为： $n - r(A - 2E) = 3 - 1 = 2$ 即特征值 2 的几何重数为 2。由于几何重数不超过代数重数，且特征值之和等于迹，特征值 2 至少是 2 重特征值。

3. 分析特征值 1 的性质 因为 $r(A - E) = 2 < 3$，所以 $|A - E| = 0$，故 $\lambda_2 = 1$ 是 $A$ 的特征值。 对应于特征值 1 的线性无关特征向量的个数为： $n - r(A - E) = 3 - 2 = 1$ 即特征值 1 的几何重数为 1。因此，特征值 1 是单特征值（代数重数为 1）。

4. 分析特征值 0 的性质 因为 $r(A) = 3$，即 $A$ 满秩，所以 $|A| \neq 0$，故 $\lambda = 0$ 不是 $A$ 的特征值。

5. 结论 矩阵 $A$ 的所有特征值为 2, 2, 1。

   • 对于特征值 2，其几何重数为 2，等于其代数重数 2。
   • 对于特征值 1，其几何重数为 1，等于其代数重数 1。

   因为 $A$ 的所有特征值的几何重数之和等于矩阵的阶数 3（或者说每个特征值的几何重数都等于其代数重数），所以 $A$ 有 3 个线性无关的特征向量。

   故 $A$ 可相似对角化。 证毕。