线性方程组基本结论：秩判定、通解结构与公共解

解方程要做的第一件事，就是先看 $n-r(A)$；写通解时，别忘了注明参数 $k_i$ 为任意常数。

来源：《邂逅遗憾 26 考研数学思维课·手稿（数一）》第四章“方程组”4.0 节，PDF 第 148—149 页（内页 142—143）。方程组的大多数内容已在思维课第三章“向量”中讲解，这两页给出基本知识图与补充结论。

验算：使用本地 MATLAB R2024b 及 Symbolic Math Toolbox，以精确矩阵核对了秩、零空间维数、非齐次解的线性无关个数与行满秩时的有解性；一般性结论仍由秩—零度定理和通解结构独立说明。

一、齐次线性方程组

1. 解的性质

若 $\xi_1,\xi_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则

$$k_1\xi_1+k_2\xi_2$$

也是它的解，其中 $k_1,k_2\in\mathbb R$。

2. 基础解系

齐次线性方程组的基础解系满足：

1. 各向量都是方程组的解；

2. 各解向量线性无关；

3. 基础解系所含解向量的个数为

   $$s=n-r(A).$$

方程组有非零解的充要条件为

$$r(A)<n.$$

若 $\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_{n-r}$ 为基础解系，则通解为

$$x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r},$$

其中 $k_1,k_2,\ldots,k_{n-r}$ 为任意常数。

二、非齐次线性方程组

1. 解的性质

若 $\eta_1,\eta_2$ 是 $Ax=b$ 的解，则

$$\eta_1-\eta_2$$

是 $Ax=0$ 的解。

2. 解的三种情形

对 $A_{m\times n}x=b$：

秩的关系	解的情况
$r(A)=r([A\mid b])=n$	方程组有唯一解
$r(A)=r([A\mid b])<n$	方程组有无穷多解
$r(A)\ne r([A\mid b])$	方程组无解

非齐次线性方程组有解的充要条件为

$$r(A)=r(A,b).$$

3. 非齐次线性方程组的通解

若 $\eta^*$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，$\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_{n-r}$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系，则

$$x=\eta^*+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r},$$

其中 $k_1,k_2,\ldots,k_{n-r}$ 为任意常数。

三、解方程组与“方形”方程组

解线性方程组时，先用初等行变换将齐次方程组的系数矩阵或非齐次方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵，再用方程组理论判断、求解。

对于“方形”方程组，即方程个数等于未知数个数：

1. $|A|\ne0\Longleftrightarrow$ 方程组有唯一解；讨论参数时，对应 $f(\lambda)\ne0$；
2. $|A|=0\Longleftrightarrow f(\lambda)=0$；
3. 变体形式是讨论含参数的向量之间的线性关系。

条件提醒：这里的 $f(\lambda)$ 指把含参系数矩阵的行列式写成关于参数 $\lambda$ 的函数。

解方程的时候只能做初等行变换。

若解方程时两端同乘一个不可逆矩阵，则可能导致结果出现“增根”的现象，可能会改变解；乘以可逆矩阵，则不改变解。

四、公共解

求两个齐次方程组

$$A_{m\times n}x=0, \qquad B_{p\times n}x=0$$

的公共解，可以采用以下方法。

方法一：联立方程

先求联立方程组

$$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}x=0$$

的解。

方法二：从一个基础解系出发

先求出 $A_{m\times n}x=0$ 的通解

$$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_s\xi_s,$$

将其代入 $B_{p\times n}x=0$，求出 $k_i$ 之间的关系，再代回 $A_{m\times n}x=0$ 的通解。

方法三：令两个通解相等

若 $A_{m\times n}x=0$ 的基础解系为

$$\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_s,$$

$B_{p\times n}x=0$ 的基础解系为

$$\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_t,$$

则公共解满足

$$y=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_s\xi_s =l_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_t\eta_t.$$

五、同解方程组

齐次方程组

$$Ax=0, \qquad Bx=0$$

是同解方程组，当且仅当 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$，且 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$。

同解还可写成秩判据：

$$r(A)=r(B),$$

且 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$；等价地，

$$r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.$$

六、解的判定与抽象型方程组

1. 解的判定

对齐次方程组 $A_{m\times n}x=0$：

$$r(A)=n$$

时只有零解；

$$r(A)<n$$

时有无穷多解。

对非齐次方程组 $A_{m\times n}x=b$：

$$r(A)\ne r([A\mid b])$$

时无解；

$$r(A)=r([A\mid b])=n$$

时有唯一解；

$$r(A)=r([A\mid b])=r<n$$

时有无穷多解。

2. 抽象型方程组的知识分支

抽象型方程组包括：基础解系与解的结构、解与系数的关系，以及线性方程组的几何意义（仅数学一）。原资料此处只列出知识分支，没有展开具体结论。

七、补充知识点

1. 基础解系中线性无关解向量的个数

原文指出：齐次方程组基础解系中线性无关的解向量个数为

$$n-r(A);$$

对于非齐次方程组而言，其基础解系中线性无关的解向量个数为

$$n-r(A)+1.$$

术语说明：此处忠实保留原文，并采用原资料的特殊含义——“非齐次方程组的基础解系”指非齐次方程组解集中一组极大线性无关的解。通常教材只对齐次方程组使用“基础解系”一词；按通常表述，非齐次通解由一个特解与对应齐次方程组的 $n-r(A)$ 个基础解系向量构成。

加出的这个 $1$ 是非齐次的特解。非齐次的解和齐次的解一定是线性无关的，反证法即可轻松说明。

特别强调：别忘了写“$k$ 为任意常数”！

2. 初等变换

解方程的时候只能做初等行变换。

3. 同乘矩阵对解的影响

解方程时，若两端同乘一个不可逆矩阵，则可能会导致结果出现“增根”的现象，可能会改变解；乘以可逆矩阵，则不改变解。

4. 非齐次方程组有解的条件

非齐次方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件是

$$r(A)=r(A,b).$$

5. 行满秩保证有解

若 $A_{m\times n}$ 行满秩，即 $r(A)=m$，则 $Ax=b$ 一定有解。

理解角度一：从秩的不等式证明。若 $r(A)=m$，则

$$m=r(A)\le r(A,b)\le m,$$

所以

$$r(A,b)=m=r(A),$$

方程组有解。

理解角度二：缩短组无关，则延伸组一定无关。若 $r(A)=m$，则 $A$ 的行向量无关；$(A,b)$ 相当于给 $A$ 的每个行向量后面加了一个小尾巴，$(A,b)$ 的行向量实际上是 $A$ 的行向量的延伸组。缩短组无关，则延伸组一定无关，所以 $(A,b)$ 的行向量仍然无关，因此

$$r(A,b)=m=r(A),$$

方程组有解。

6. 方阵的唯一解

若 $A$ 为方阵，则当 $|A|\ne0$ 时，$Ax=b$ 有唯一解

$$x=A^{-1}b.$$

7. 矛盾方程

$$r(A)\ne r(A,b)$$

当且仅当方程组中出现矛盾方程。

八、考场速记

• 先看 $n-r(A)$，再决定自由变量与基础解系中向量的个数。
• 齐次方程组有非零解：$r(A)<n$。
• 非齐次方程组有解：$r(A)=r(A,b)$；有无穷多解时还要满足 $r(A)<n$。
• 公共解可以联立，也可以令两个基础解系生成的通解相等。
• 写通解时，必须注明 $k_i$ 为任意常数；求非零解时，参数还应排除使结果为零向量的取值。