泰勒拟合求解渐近线

一、斜渐近线的通俗理解

$x \to +\infty$ 时，若曲线 $y = y(x)$ 与直线 $y = ax + b$ “无限接近”，则称 $y = ax + b$ 是曲线 $y = y(x)$ 在 $x \to +\infty$ 时的斜渐近线（$x \to -\infty$ 同理）。

即：

$$\lim_{x\to +\infty}[y(x)-(ax+b)]=0$$

等价于

$$y(x) = ax + b + o(1)$$

由此可推出：

$$a = \lim_{x\to +\infty}\frac{y(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x\to +\infty}[y(x)-ax]$$

二、总结

$x \to +\infty$ 时，将 $y(x)$ 泰勒展开为”一次函数 + 无穷小”，则该一次函数就是斜渐近线。

核心标准：若 $y = ax + b + o(1)$，则斜渐近线为 $y = ax + b$。

做这类题的关键：不要只展开到最高阶，要一直展开到常数项。

三、如何展开

以前——$x \to 0$ 时：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$$

现在——$x \to +\infty$ 时，令 $t = \dfrac{1}{x} \to 0$：

$$e^{1/x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{x^3} + o\!\left(\frac{1}{x^3}\right)$$

同理：

$$\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^3} - \cdots$$

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例题

例 1

解答题例 1

$$y = x\ln\!\left(e+\frac{1}{x}\right)$$

解答

先提出 $e$：

$$e + \frac{1}{x} = e\!\left(1 + \frac{1}{ex}\right) \implies \ln\!\left(e+\frac{1}{x}\right) = 1 + \ln\!\left(1+\frac{1}{ex}\right)$$

当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+t) = t + o(t)$，故

$$\ln\!\left(1+\frac{1}{ex}\right) = \frac{1}{ex} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)$$

因此

$$y = x\!\left[1 + \frac{1}{ex} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right] = x + \frac{1}{e} + o(1)$$ $$\boxed{y = x + \frac{1}{e}}$$

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例 2

解答题例 2

$$y = (2x-1)\,e^{1/x}$$

解答

当 $x \to +\infty$ 时：

$$e^{1/x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + o\!\left(\frac{1}{x^2}\right)$$

展开到常数项：

$$y = (2x-1)\!\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + o\!\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) = 2x + 2 + \frac{1}{x} - 1 - \frac{1}{x} + o(1) = 2x + 1 + o(1)$$ $$\boxed{y = 2x + 1}$$

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例 3

解答题例 3

$$y = \frac{x^2}{2x+1}$$

解答

直接做多项式除法：

$$\frac{x^2}{2x+1} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x+1)}$$

因为 $\dfrac{1}{4(2x+1)} = o(1)$，所以

$$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + o(1)$$ $$\boxed{y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}}$$

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例 4

解答题例 4

$$y = \frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}}$$

解答

注意 $(1+x)^{3/2} = x^{3/2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3/2}$，故

$$y = \frac{(1+x)^{3/2}}{x^{1/2}} = \frac{x^{3/2}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3/2}}{x^{1/2}} = x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3/2}$$

当 $x \to +\infty$ 时，$(1+t)^{3/2} = 1 + \dfrac{3}{2}t + o(t)$，故

$$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3/2} = 1 + \frac{3}{2x} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)$$

因此

$$y = x\!\left[1 + \frac{3}{2x} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right] = x + \frac{3}{2} + o(1)$$ $$\boxed{y = x + \frac{3}{2}}$$

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例 5

解答题例 5

$$y = x\!\left(1 + \arcsin\frac{1}{x}\right)$$

解答

当 $x \to +\infty$ 时，$\arcsin t = t + o(t)$，故

$$\arcsin\frac{1}{x} = \frac{1}{x} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)$$

因此

$$y = x\!\left(1 + \frac{1}{x} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right) = x + 1 + o(1)$$ $$\boxed{y = x + 1}$$

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例 6

解答题例 6

$$y = x\ln\!\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$$

解答

先提出 $e$：

$$e + \frac{1}{x-1} = e\!\left(1 + \frac{1}{e(x-1)}\right) \implies \ln\!\left(e+\frac{1}{x-1}\right) = 1 + \ln\!\left(1+\frac{1}{e(x-1)}\right)$$

当 $x \to +\infty$ 时：

$$\ln\!\left(1+\frac{1}{e(x-1)}\right) = \frac{1}{e(x-1)} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)$$

因此

$$y = x\!\left[1 + \frac{1}{e(x-1)} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right] = x + \frac{x}{e(x-1)} + o(1)$$

注意

$$\frac{x}{e(x-1)} = \frac{1}{e} + \frac{1}{e(x-1)} = \frac{1}{e} + o(1)$$

故

$$y = x + \frac{1}{e} + o(1)$$ $$\boxed{y = x + \frac{1}{e}}$$

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总结答案

题号	函数	斜渐近线
1	$x\ln\!\left(e+\dfrac{1}{x}\right)$	$y = x + \dfrac{1}{e}$
2	$(2x-1)\,e^{1/x}$	$y = 2x + 1$
3	$\dfrac{x^2}{2x+1}$	$y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$
4	$\dfrac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}}$	$y = x + \dfrac{3}{2}$
5	$x\!\left(1+\arcsin\dfrac{1}{x}\right)$	$y = x + 1$
6	$x\ln\!\left(e+\dfrac{1}{x-1}\right)$	$y = x + \dfrac{1}{e}$