根轨迹的基本概念：从特征方程到相角条件与模值条件

在自动控制原理中，根轨迹法是一种研究闭环系统稳定性和动态性能的重要图解方法。它的核心思想很简单：当系统中某个参数，通常是开环增益，从零变化到无穷大时，闭环特征根在复平面上的变化轨迹，称为根轨迹。

换句话说，根轨迹研究的是：

$$K \text{ 变化时，闭环极点在 } s \text{ 平面上怎么移动。}$$

因为闭环极点决定系统的稳定性和动态性能，所以根轨迹本质上就是通过观察闭环极点的位置变化，分析系统性能如何随增益变化而变化。

一、根轨迹是怎么来的

设单位负反馈系统的开环传递函数为 $G(s)H(s)$，则闭环传递函数为

$$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

闭环系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

闭环极点就是这个特征方程的根。

如果系统开环传递函数中含有可调增益，则特征方程的根随增益的变化而变化。也就是说，闭环极点不是固定不变的，而是随着开环增益的改变在复平面上移动。

当增益从 $0$ 变化到 $+\infty$ 时，闭环特征根在 $s$ 平面上走过的轨迹，就是根轨迹。

因此，根轨迹并不是凭空画出来的，它来自闭环特征方程 $1+G(s)H(s)=0$。根轨迹研究的对象不是开环极点本身，而是闭环特征方程的根，也就是闭环极点。

二、根轨迹的基本概念

根轨迹是闭环系统特征根随某一参数变化时在复平面上的轨迹。通常这个参数取开环增益 $K^*$，并规定

$$0 \leq K^* < +\infty$$

根轨迹图上的每一个点，都对应某一个 $K^*$ 值下的闭环极点。

对于某一个复数点 $s=s_1$，如果存在某个正实数 $K^*$，使得

$$1+G(s_1)H(s_1)=0$$

成立，那么这个点 $s_1$ 就在根轨迹上。

根轨迹的主要作用是判断系统随增益变化时的稳定性、快速性和振荡性。例如，闭环极点位于左半平面时系统稳定；越靠近虚轴，系统衰减越慢；若闭环极点为共轭复根，则系统响应往往带有振荡。

所以根轨迹法的意义是：不用反复求解特征方程，而是通过图形观察闭环极点如何随参数变化，从而分析系统性能。

三、根轨迹方程

闭环系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

因此根轨迹方程可以写成

$$G(s)H(s)=-1$$

这就是根轨迹的基本方程。

如果开环传递函数写成零极点形式：

$$G(s)H(s)=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} {(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}$$

则闭环特征方程为

$$1+K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} {(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}=0$$

两边同乘分母，得

$$(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n) + K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)=0$$

这说明闭环特征根的位置由开环零点、开环极点和增益 $K$ 共同决定。

四、根轨迹增益与”首1”型

在根轨迹中，经常会遇到”根轨迹增益”这个概念。它和普通开环增益有时相同，有时不完全相同，需要注意区分。

一般把开环传递函数化为如下的首1型：

$$G(s)H(s)=K^* \frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}$$

其中分子、分母中的每一个因式都写成 $s-z_i$、$s-p_j$ 的形式，也就是每个一次因式中 $s$ 的系数为 $1$。这里的 $K^*$ 称为根轨迹增益。

所谓”首1”型，就是把传递函数整理成如下标准形式：

$$K^*\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} {(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}$$

而不是写成类似

$$K\frac{(a_1s+b_1)(a_2s+b_2)} {(c_1s+d_1)(c_2s+d_2)}$$

的形式。

例如：

$$G(s)H(s)=K\frac{2s+4}{3s+6}$$

先把每个因式化成首1型：

$$2s+4=2(s+2), \quad 3s+6=3(s+2)$$

所以

$$G(s)H(s)=K\frac{2(s+2)}{3(s+2)}=\frac{2K}{3}\cdot\frac{s+2}{s+2}$$

此时根轨迹增益为

$$K^*=\frac{2K}{3}$$

而不是原来的 $K$。

因此，根轨迹增益 $K^*$ 是在开环传递函数化为”首1”零极点形式后，提到最前面的那个系数。

原传递函数里的 $K$ 不一定就是根轨迹增益；化成首1型后，最前面的系数才是根轨迹增益 $K^*$。

这个区别在画根轨迹、求分离点、求与虚轴交点、计算某一点对应的增益时很重要。

五、相角条件

由根轨迹方程

$$G(s)H(s)=-1$$

可知，右边的 $-1$ 是一个负实数。负实数的相角为 $(2k+1)\pi$，$k=0,\pm1,\pm2,\cdots$

因此，根轨迹上的点必须满足相角条件：

$$\angle G(s)H(s)=(2k+1)\pi, \quad k=0,\pm1,\pm2,\cdots$$

由于 $G(s)H(s)=K^*\dfrac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}$，而 $K^*>0$ 为正实数，相角为零，故

$$\angle G(s)H(s) = \sum_{i=1}^{m}\angle(s-z_i) - \sum_{j=1}^{n}\angle(s-p_j)$$

所以相角条件为

$$\sum_{i=1}^{m}\angle(s-z_i) - \sum_{j=1}^{n}\angle(s-p_j) = (2k+1)\pi$$

这就是判断某一点是否在根轨迹上的基本条件。

也就是说，判断复平面上一点 $s$ 是否属于根轨迹，主要看它对各开环零点和开环极点形成的向量角度是否满足相角条件。如果满足，这个点就在根轨迹上；如果不满足，它就不在根轨迹上。

六、模值条件

由根轨迹方程

$$G(s)H(s)=-1$$

两边取模，得

$$|G(s)H(s)|=1$$

由于 $G(s)H(s)=K^*\dfrac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}$，展开得

$$K^*\frac{\prod_{i=1}^{m}|s-z_i|}{\prod_{j=1}^{n}|s-p_j|}=1$$

于是得到模值条件：

$$K^*=\frac{\prod_{j=1}^{n}|s-p_j|}{\prod_{i=1}^{m}|s-z_i|}$$

这就是根轨迹的模值条件。

相角条件用来判断某一点是否在根轨迹上；模值条件用来求该点对应的根轨迹增益。两者的作用不同：相角条件决定”点在不在根轨迹上”，模值条件决定”这个点对应的增益是多少”。

七、相角条件和模值条件的关系

根轨迹方程

$$G(s)H(s)=-1$$

本身是一个复数方程。一个复数方程成立，需要同时满足两个条件：相角相等，模值相等。

所以根轨迹方程可以分解为两个条件：

第一，相角条件：

$$\angle G(s)H(s)=(2k+1)\pi$$

第二，模值条件：

$$K^*=\frac{\prod_{j=1}^{n}|s-p_j|}{\prod_{i=1}^{m}|s-z_i|}$$

其中，相角条件是根轨迹存在的必要条件，也是画根轨迹时最常用的判断依据。模值条件是在已经确定某点在根轨迹上之后，用来计算该点所对应的根轨迹增益。

因此，学习根轨迹时要抓住一个核心逻辑：

闭环极点满足特征方程；特征方程可以写成根轨迹方程；根轨迹方程又可以分解为相角条件和模值条件。

八、总结

根轨迹法的出发点是闭环特征方程

$$1+G(s)H(s)=0$$

当系统开环增益变化时，闭环特征方程的根随之变化，这些闭环特征根在复平面上的轨迹就是根轨迹。

根轨迹研究的是闭环极点的位置变化，而不是单纯研究开环零极点。开环零极点决定根轨迹的形状，闭环极点沿着根轨迹移动，系统性能也随之改变。

根轨迹方程为

$$G(s)H(s)=-1$$

由此得到两个基本条件：

$$\angle G(s)H(s)=(2k+1)\pi$$ $$K^*=\frac{\prod_{j=1}^{n}|s-p_j|}{\prod_{i=1}^{m}|s-z_i|}$$

其中，相角条件用于判断某点是否在根轨迹上，模值条件用于计算该点对应的根轨迹增益。

最后要特别注意”根轨迹增益”和原式中的增益 $K$ 不一定完全相同。只有把开环传递函数化成首1型零极点形式以后，提到最前面的系数才是根轨迹增益 $K^*$。

掌握了这些基本概念，就能理解根轨迹为什么要从开环极点出发、为什么要趋向开环零点或无穷远点，也能进一步学习根轨迹的绘制规则、分离点、渐近线、虚轴交点以及系统性能分析。