根轨迹图绘制八大法则

根轨迹的绘制依赖一套系统性的法则，通过分析开环零极点的几何关系，可以不逐点验证相角条件而直接勾勒出根轨迹的大致走向。以下八条法则是绘制根轨迹图的基本依据。

点击表格中的规则编号（如”规则 1”）可跳转至法则推导中的对应推导节。

法则总览

序号	内容	法则
规则 1	根轨迹的起点和终点	根轨迹起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括无限零点）
规则 2	根轨迹的分支数、对称性和连续性	根轨迹的分支数等于开环极点数 $n$（$n>m$），或开环零点数 $m$（$m>n$） 根轨迹对称于实轴
规则 3	根轨迹的渐近线	$n-m$ 条渐近线与实轴的交角和交点为 $\varphi_a=\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m},\quad k=0,1,\cdots,n-m-1$ $\sigma_a=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i-\displaystyle\sum_{j=1}^{m}z_j}{n-m}$
规则 4	根轨迹在实轴上的分布	实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹
规则 5	根轨迹的分离点与分离角	导数法： 设 $G(s)H(s)=KB(s)/A(s)$，分离点满足 $A(s)B'(s)-A'(s)B(s)=0$ 分式法： 分离点坐标 $d$ 满足 $\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\dfrac{1}{d-z_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{d-p_i}$；无开环零点时化为 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{d-p_i}=0$ 分离角等于 $(2k+1)\pi/l$，其中 $l$ 为相遇分支数 注意： 求出的值并非都是实际分离点，需进行验证
规则 6	根轨迹的起始角与终止角	起始角：$\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\varphi_{z_jp_i}-\displaystyle\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\theta_{p_jp_i}\right)$ 终止角：$\varphi_{z_i}=(2k+1)\pi-\left(\displaystyle\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{m}\varphi_{z_jz_i}-\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jz_i}\right)$
规则 7	根轨迹与虚轴的交点	方法一： 令 $s=j\omega$ 代入 $1+G(j\omega)H(j\omega)=0$，分别令实部与虚部为零，联立求解 $K$ 与 $\omega$ 方法二： 由劳斯判据求出，令劳斯表中出现全零行，利用上一行构造辅助方程，求解 $K$ 与 $\omega$
规则 8	根之和与根之积	闭环极点的和与积： $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}s_i=-a_1$ $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(-s_i)=a_n$ 根之和（当 $n-m\ge 2$ 时）： 无论 $K$ 取何值，闭环极点之和恒等于开环极点之和： $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}s_i=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i$