抽象向量组的线性相关与线性无关

判断抽象向量组线性相关或线性无关，常用两种方法：

1. 定义法：从线性组合等于零出发，证明系数是否只能全为零；
2. 构造矩阵乘法：把新向量组写成原向量组与系数矩阵的乘积，再转化为秩或行列式问题。

选择方法时可先看题设：若已给出若干向量线性相关或线性无关，通常优先构造系数矩阵；若题中直接出现矩阵乘向量的等式，通常优先用定义法并连续左乘矩阵幂。

一、定义

1. 线性相关与线性无关

设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 属于同一个向量空间。若存在不全为零的数 $k_1,k_2,\ldots,k_s$，使得

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0,$$

则该向量组线性相关。

使用条件： 各向量必须同维；系数取自同一数域；右端 $0$ 是相同维数的零向量。

若

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$$

只能推出

$$k_1=k_2=\cdots=k_s=0,$$

则该向量组线性无关。

使用条件： 同上；判断“线性无关”必须证明齐次关系的系数只有零解。

2. 向量组的秩

向量组中极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。把列向量排成矩阵

$$\mathcal A=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s),$$

则

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s)=r(\mathcal A).$$

使用条件： $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 为同维列向量；$\mathcal A$ 以这些向量为列。

二、核心结论

定理 1：线性无关原向量组的系数矩阵判定法

设

$$\mathcal A=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s), \qquad r(\mathcal A)=s,$$

新向量组满足

$$\mathcal B=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t)=\mathcal A C,$$

其中 $C$ 是 $s\times t$ 系数矩阵，则

$$r(\mathcal B)=r(C).$$

使用条件： 原向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，即 $\mathcal A$ 列满秩；$C$ 的行数等于原向量个数；矩阵乘法有定义。

特别地，当 $t$ 个新向量需要判断线性无关时，

$$\beta_1,\ldots,\beta_t\text{ 线性无关} \iff r(C)=t.$$

使用条件： 除满足上一定理外，还必须有 $t\le s$；若 $C$ 为 $t$ 阶方阵，也可等价判断 $|C|\ne0$。

定理 2：零乘积的秩不等式

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵。若

$$AB=O,$$

则

$$r(A)+r(B)\le n.$$

使用条件： $A$ 的列数与 $B$ 的行数同为 $n$；右端是 $m\times p$ 零矩阵。上界中的 $n$ 是乘积的“中间维数”。

定理 3：幂零链线性无关

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维列向量，且对某个正整数 $m$ 有

$$A^{m-1}\alpha\ne0, \qquad A^m\alpha=0.$$

则向量组

$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\ldots,A^{m-1}\alpha$$

线性无关。

使用条件： $A$ 必须为方阵；$\alpha$ 的维数与 $A$ 的阶数一致；$m\ge1$；两个条件 $A^{m-1}\alpha\ne0$ 与 $A^m\alpha=0$ 缺一不可。由结论还可知 $m\le n$。

三、适用条件与方法选择

题设特征	首选方法	必查条件
已知原向量组线性无关，新向量由原向量线性表示	构造右乘系数矩阵	原向量组必须列满秩
已知原向量组线性相关，仍要讨论新向量组的秩	构造矩阵后配合秩不等式	不能直接写 $r(\mathcal AC)=r(C)$
出现 $AB=O$	零乘积秩不等式	上界是中间维数
出现 $A^m\alpha=0$	定义法、连续左乘 $A$ 的幂	还要检查 $A^{m-1}\alpha\ne0$

最常见的误区是只看到 $\mathcal B=\mathcal AC$，便直接断言 $r(\mathcal B)=r(C)$。一般情形只能保证

$$r(\mathcal AC)\le \min\{r(\mathcal A),r(C)\}.$$

使用条件： $\mathcal A$ 与 $C$ 的尺寸满足矩阵乘法要求；等号需要额外的满秩条件，不能默认成立。

四、推导

1. 定理 1 的推导

因为 $r(\mathcal A)=s$，所以 $\mathcal A$ 列满秩。齐次方程

$$\mathcal A x=0$$

只有零解。

使用条件： $\mathcal A$ 有 $s$ 列且 $r(\mathcal A)=s$。

对任意 $y\in\mathbb R^t$，由

$$\mathcal B y=0 \iff \mathcal A C y=0 \iff Cy=0,$$

可知 $\mathcal B$ 与 $C$ 的零空间相同，因此它们的秩相同。

使用条件： $\mathcal B=\mathcal AC$ 且 $\mathcal A$ 的零空间只有零向量；若在复数域中讨论，将 $\mathbb R^t$ 换成 $\mathbb C^t$。

2. 定理 2 的推导

由 $AB=O$，矩阵 $B$ 的每个列向量都属于齐次方程 $Ax=0$ 的解空间，所以

$$R(B)\subseteq N(A).$$

使用条件： $B$ 的列向量维数为 $n$，恰好能作为 $Ax=0$ 中的未知向量。

于是

$$r(B)\le \dim N(A)=n-r(A),$$

整理得

$$r(A)+r(B)\le n.$$

使用条件： 使用秩—零度定理时，$A$ 必须有 $n$ 列。

3. 定理 3 的推导

从定义出发，设

$$k_1\alpha+k_2A\alpha+\cdots+k_mA^{m-1}\alpha=0.$$

使用条件： $A$ 为方阵，使各次幂及所有向量均有定义且同维。

等式两边左乘 $A^{m-1}$。由 $A^m\alpha=0$ 可继续推出 $A^{m+1}\alpha=A^{m+2}\alpha=\cdots=0$，故

$$k_1A^{m-1}\alpha=0.$$

使用条件： $A^m\alpha=0$；矩阵乘法满足结合律。

又因为 $A^{m-1}\alpha\ne0$，所以 $k_1=0$。代回原式后左乘 $A^{m-2}$，得到

$$k_2A^{m-1}\alpha=0,$$

从而 $k_2=0$。依次重复，最终得到

$$k_1=k_2=\cdots=k_m=0.$$

使用条件： 每一步都使用同一个非零向量 $A^{m-1}\alpha\ne0$；因此齐次关系只有零解，符合线性无关的定义。

五、例题

例题 1：已知原向量组线性无关，判断新向量组

设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，判断下列哪个向量组线性无关：

• A：$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_1$；
• B：$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$；
• C：$\alpha_1+2\alpha_2,\ 2\alpha_2+3\alpha_3,\ \alpha_1+3\alpha_3$；
• D：$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\ 2\alpha_1-3\alpha_2+22\alpha_3,\ 3\alpha_1+5\alpha_2-5\alpha_3$。

使用条件： 原向量组已经给出线性无关，因此可把新向量组的秩转化为右乘系数矩阵的秩。

令 $\mathcal A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$。四组选项依次写成 $\mathcal AC_A,\ldots,\mathcal AC_D$，其中

$$C_A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad C_B=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix},$$ $$C_C=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&2&0\\0&3&3\end{pmatrix},\quad C_D=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&-3&5\\1&22&-5\end{pmatrix}.$$

使用条件： 每个矩阵的第 $j$ 列是第 $j$ 个新向量关于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的系数。

手算行列式：

$$|C_A|=0,\qquad |C_B|=0,$$ $$|C_C| =1\begin{vmatrix}2&0\\3&3\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}2&2\\0&3\end{vmatrix} =6+6=12\ne0,$$ $$|C_D|=0.$$

使用条件： 四个系数矩阵均为三阶方阵，所以“列满秩”等价于行列式非零。

因此只有 $C_C$ 满秩，答案为 C。

例题 2：由向量间的线性表示关系求秩

设四维非零向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 满足

$$\begin{aligned} \alpha_1&=\alpha_2+2\alpha_3-\alpha_4,\\ \alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_3+5\alpha_4,\\ \alpha_3&=2\alpha_1-\alpha_2+4\alpha_4,\\ \alpha_4&=\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3. \end{aligned}$$

求 $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$。

令

$$\mathcal A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4),$$

则题设可写为

$$\mathcal A=\mathcal AB, \qquad B=\begin{pmatrix} 0&1&2&1\\ 1&0&-1&4\\ 2&2&0&1\\ -1&5&4&0 \end{pmatrix}.$$

使用条件： $B$ 的每一列对应一个等式右端的系数，且 $\mathcal A$ 以四个向量为列。

移项得

$$\mathcal A(B-E)=O.$$

使用条件： $E$ 是四阶单位矩阵；$\mathcal A$ 为 $4\times4$ 矩阵。

对 $B-E$ 作初等行变换可得三个主元，故

$$r(B-E)=3.$$

使用条件： 初等行变换不改变矩阵的秩。

由零乘积秩不等式，

$$r(\mathcal A)+r(B-E)\le4,$$

所以

$$r(\mathcal A)\le1.$$

使用条件： 乘积的中间维数为 $4$。

又因为题设说明四个向量均非零，所以 $\mathcal A\ne O$，从而

$$r(\mathcal A)\ge1.$$

使用条件： 非零矩阵的秩至少为 $1$。

综上，

$$\boxed{r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=1}.$$

例题 3：矩阵幂条件下证明向量组线性无关

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\alpha$ 是 $n$ 维列向量。若

$$A^{m-1}\alpha\ne0,\qquad A^m\alpha=0,$$

证明向量组

$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\ldots,A^{m-1}\alpha$$

线性无关。

使用条件： $A$ 为方阵、$\alpha$ 维数匹配且 $m\ge1$。

证明完全采用定义法：先令这些向量的线性组合为零，再依次左乘 $A^{m-1},A^{m-2},\ldots,E$，每一步都利用 $A^m\alpha=0$ 凑出零项，并利用 $A^{m-1}\alpha\ne0$ 消去一个系数。于是所有系数均为零，原向量组线性无关。

例如取 $m=n=4$ 的移位矩阵，四个链向量恰为标准基的逆序排列，组成矩阵的秩为 $4$。

六、易错结论与反例

误用：只要 $A^m\alpha=0$，幂零链就线性无关

这个结论是错误的。取

$$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad \alpha=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \qquad m=2.$$

使用条件： 这是一个二阶方阵与二维非零列向量，所有矩阵乘法均有定义。

此时确有

$$A^2\alpha=0,$$

但

$$A\alpha=0,$$

所以向量组 $\alpha,A\alpha$ 含零向量，组成矩阵的秩为 $1<2$，必线性相关。

反例说明： 缺失的关键条件正是 $A^{m-1}\alpha\ne0$；本例中 $A\alpha=0$。

七、考场速记

1. 已知原向量组线性无关：写成“原向量组 $\times$ 系数矩阵”，直接判系数矩阵的秩。
2. 见到 $AB=O$：立刻想到 $r(A)+r(B)\le n$，其中 $n$ 是中间维数。
3. 见到 $A^m\alpha=0$：用定义法，左乘合适的矩阵幂凑零；同时必须检查 $A^{m-1}\alpha\ne0$。
4. 证明线性无关的落脚点始终是：线性组合等于零时，所有系数只能全为零。