手算反正切：分区间近似与误差控制

自动控制做 Bode 图、相角裕度时经常要心算 $\arctan x$。直接展开泰勒级数收敛慢，背值表又记不全。实用做法是按 $x$ 的大小分四个区间，每个区间用最合适的近似公式，整体可控制在 $1^\circ$ 以内。

一、按 $x$ 大小选公式（误差 $\leq 1^\circ$）

区间	推荐公式	类型
$0<x\le 0.3$	$\arctan x\approx x\cdot 57.3^\circ$	小角近似
$0.3<x\le 0.5$	$\arctan x\approx \left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)\cdot 57.3^\circ$	三阶泰勒
$0.5<x\le 2$	$\arctan x=45^\circ+\arctan\dfrac{x-1}{x+1}$	折半公式
$x>2$	$\arctan x=90^\circ-\arctan\dfrac{1}{x}$	余角公式

四个公式的核心思想是把任意 $x$ 折到 $[0, 0.5]$ 这个泰勒收敛快的小区间里，再做近似。

二、四条公式的来源

1. 小角近似（$x$ 很小）

弧度制下当 $x\to 0$ 有 $\arctan x\approx x$，转成度数

$$\arctan x\approx x\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx x\cdot 57.3^\circ$$

只有一阶项，$x\le 0.3$ 时误差就在 $1^\circ$ 量级。

2. 三阶泰勒（$x$ 稍大）

反正切的麦克劳林级数为

$$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$$

收敛半径 $|x|\le 1$，$x$ 越小收敛越快。$0.3<x\le 0.5$ 时取到三次项即可：

$$\arctan x\approx \left(x-\frac{x^3}{3}\right)\cdot 57.3^\circ$$

3. 折半公式（$x$ 接近 1）

由 $\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$，取 $B=45^\circ$：

$$\arctan x-45^\circ=\arctan\frac{x-1}{x+1}$$

即

$$\arctan x=45^\circ+\arctan\frac{x-1}{x+1}$$

当 $0.5<x\le 2$ 时 $\dfrac{x-1}{x+1}\in[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}]$，再走小角或三阶泰勒就够精度。

4. 余角公式（$x$ 很大）

$$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}=90^\circ,\quad x>0$$

所以

$$\arctan x=90^\circ-\arctan\frac{1}{x}$$

$x>2$ 时 $\dfrac{1}{x}<0.5$，又落回前两条公式的领地。

三、复数 / 向量角度要看象限

atan2 在手算中常被忽略：只算 $\arctan(b/a)$ 永远落在 $(-90^\circ,90^\circ)$，没法区分二、三象限。设复数 $a+bj$：

$a$ 的符号	实际角度
$a>0$	$\arctan\dfrac{b}{a}$
$a<0,\ b\ge 0$	$\arctan\dfrac{b}{a}+180^\circ$
$a<0,\ b<0$	$\arctan\dfrac{b}{a}-180^\circ$
$a=0$	$\pm 90^\circ$（看 $b$ 正负）

做 Nyquist 相角、传函相位时尤其要小心——分母实部一旦变负，整张图的相角会差 $180^\circ$。

四、速查口诀

• $x$ 很小 → 泰勒（小角 / 三阶）
• $x$ 接近 1 → 折半公式
• $x$ 很大 → 余角公式
• 特殊值 → 背表（$\arctan 1=45^\circ$、$\arctan\sqrt{3}=60^\circ$ 等）
• 复数 / 向量 → 看象限

一条主线：任何 $x$ 都先想办法折到 $[0,0.5]$，再走泰勒——这是手算 $\arctan$ 的基本套路。