对称区间定积分：偶倍奇零

核心结论

定积分中，见到关于 $x=0$ 对称的区间，要条件反射般想到偶倍奇零！

不管是定积分计算题，还是定积分比大小，只要是定积分，见到对称区间，就一定要优先想到偶倍奇零！！！尤其是”奇零”！！！

即：

易错点（绝对值！）
$(a^2)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{(a^2)^3}=\sqrt{a^6}=|a^3|.$
必须带绝对值——完全易错点！

见到加号，优先考虑拆开；见到对称区间，优先想到偶倍奇零。

解答题例 1

计算

\int_{-1}^{1}\frac{2x^2+\sin x}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx.

解答

先拆和

\int_{-1}^{1}\frac{2x^2+\sin x}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx =\int_{-1}^{1}\frac{2x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx +\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx.

其中

$\dfrac{2x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}$ 是偶函数；
$\dfrac{\sin x}{1+\sqrt{1-x^2}}$ 是奇函数，故 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx=0$ 。

因此

\begin{aligned} \text{原式} &=4\int_0^1\frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx\\[4pt] &=4\int_0^1\frac{x^2\!\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)}{\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\!\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)}\,dx\\[4pt] &=4\int_0^1\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)dx\\[4pt] &=4\int_0^1 dx-4\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx\\[4pt] &=4-\pi. \end{aligned}

最后一步借助几何意义： $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ 是单位圆四分之一面积，即 $\dfrac{\pi}{4}$ 。

题干等式的意思是”当 $a=a_1,\ b=b_1$ 时，整个积分取得最小值”。

选择题2014 数一真题

设

\int_{-\pi}^{\pi}(x-a_1\cos x-b_1\sin x)^2\,dx =\min_{a,b\in\mathbb{R}}\left\{\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\cos x-b\sin x)^2\,dx\right\},

则 $a_1\cos x+b_1\sin x=(\ \ )$

解答

对称区间，条件反射想到偶倍奇零。展开平方：

(x-a\cos x-b\sin x)^2 =x^2+a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x-2ax\cos x-2bx\sin x+2ab\sin x\cos x.

按奇偶性逐项分析：

$x\cos x$ （奇 × 偶 = 奇）→ $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx=0$ ；
$\sin x\cos x$ （奇 × 偶 = 奇）→ $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\cos x\,dx=0$ ；
其余 $x^2$ 、 $\cos^2 x$ 、 $\sin^2 x$ 、 $x\sin x$ 均为偶函数（其中 $x\sin x$ ：奇 × 奇 = 偶）。

应用偶倍奇零得：

\begin{aligned} \text{原式} &=2\int_0^\pi x^2\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}\!\left(a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x-2bx\sin x\right)dx\\[4pt] &=\frac{2}{3}\pi^3+(a^2+b^2-4b)\pi. \end{aligned}

要使原式最小，只需 $a^2+b^2-4b$ 最小。配方：

a^2+b^2-4b=a^2+(b-2)^2-4,

当 $a=0,\ b=2$ 时取最小值。所以

a_1=0,\qquad b_1=2,\qquad a_1\cos x+b_1\sin x=2\sin x.

故选 (A)。

见加号优先拆开——把被积函数拆成多项之和，每项单独判奇偶。
见对称区间优先偶倍奇零——奇函数直接归零是最大的收益，“奇零”尤其重要。
平方项展开后留意奇偶—— $(x-a\cos x-b\sin x)^2$ 一展开，交叉项 $x\cos x$ 、 $\sin x\cos x$ 都是奇函数，直接消掉，能极大简化计算。