变上限积分函数的连续性与可导性

核心结论

设

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$$

这类函数常叫做变上限积分函数，也可以理解为从 $a$ 到 $x$ 的面积函数。

面积函数一定连续；是否可导，关键看被积函数 $f(x)$ 在对应点的连续性类型。

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一、连续性

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

在 $[a,b]$ 上连续。

也就是说：

$$f(x)\text{ 可积} \quad\Longrightarrow\quad F(x)\text{ 连续}.$$

**注：**面积函数一定连续。即使 $f(x)$ 本身在某些点不连续，只要它可积，变上限积分函数 $F(x)$ 仍然连续。

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二、可导性

讨论

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

在某点 $x=x_0$ 的可导性时，要看 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是哪一种情况。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上除点 $x=x_0\in(a,b)$ 外均连续，则有以下结论：

$f(x)$ 在 $x_0$ 处的情况	$F(x)$ 在 $x_0$ 处的情况	导数结论
连续	可导	$F'(x_0)=f(x_0)$
可去间断	可导	$F'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$
跳跃间断	连续但不可导	$F'_-(x_0)=f(x_0^-),\quad F'_+(x_0)=f(x_0^+)$

因此要记住：

1. $f(x)$ 连续时，变上限积分函数 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数；
2. $f(x)$ 可去间断时，$F(x)$ 仍可导，但导数等于去心极限，不一定等于 $f(x_0)$；
3. $f(x)$ 跳跃间断时，$F(x)$ 连续但不可导。

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三、为什么跳跃间断会导致不可导

若 $f(x)$ 在 $x=c$ 处为第一类间断点，且

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,$$

则左导数为

$$F'_-(c) =\lim_{x\to c^-}\frac{F(c)-F(x)}{c-x} =\lim_{x\to c^-}\frac{\int_x^c f(t)\,dt}{c-x} =f(c^-).$$

右导数为

$$F'_+(c) =\lim_{x\to c^+}\frac{F(x)-F(c)}{x-c} =\lim_{x\to c^+}\frac{\int_c^x f(t)\,dt}{x-c} =f(c^+).$$

当 $x=c$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点时，

$$F'_-(c)=f(c^-)\ne f(c^+)=F'_+(c),$$

所以 $F(x)$ 在 $x=c$ 处不可导。

当 $x=c$ 为 $f(x)$ 的可去间断点时，

$$F'_-(c)=F'_+(c),$$

所以 $F(x)$ 在 $x=c$ 处可导。但此时一般有

$$F'(c)\ne f(c),$$

因为 $F'(c)$ 取的是 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$，而不是被重新定义后的 $f(c)$。

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例 1：跳跃间断点对应连续但不可导

选择题例 1

设函数

$$f(x)= \begin{cases} \sin x, & 0\le x<\pi,\\ 2, & \pi\le x\le 2\pi, \end{cases}$$

并令

$$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.$$

则（ ）

• A $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点。
• B $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点。
• C $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导。
• D $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导。

解答

$$\boxed{\text{C}}$$

分析：

当 $x\to\pi^-$ 时，

$$\lim_{x\to\pi^-}f(x)=\lim_{x\to\pi^-}\sin x=0.$$

当 $x\to\pi^+$ 时，

$$\lim_{x\to\pi^+}f(x)=2.$$

所以 $f(x)$ 在 $x=\pi$ 处为跳跃间断点。

根据上面的结论，变上限积分函数

$$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$$

一定连续，但在 $x=\pi$ 处左右导数不相等，因此不可导。

所以

$$\boxed{F(x)\text{ 在 }x=\pi\text{ 处连续但不可导}}.$$

答案选 C。

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例 2：可去间断点对应仍可导

选择题例 2

设

$$f(x)= \begin{cases} e^x+x^2, & x\ne0,\\ a, & x=0, \end{cases}$$

其中 $a$ 为常数。令

$$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.$$

则以下命题：

① 当 $a=1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处可导；
② 当 $a\ne1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处可导；
③ 当 $a=1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处不可导；
④ 当 $a\ne1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

所有真命题的序号为（ ）

• A ①④
• B ①②
• C ③④
• D ②③

解答

$$\boxed{\text{B}}$$

分析：

当 $a=1$ 时，

$$f(0)=1,\qquad \lim_{x\to0}(e^x+x^2)=1,$$

所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。此时

$$F'(0)=f(0)=1,$$

因此 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导，命题 ① 正确。

当 $a\ne1$ 时，$f(0)=a$，但

$$\lim_{x\to0}(e^x+x^2)=1.$$

所以 $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点。此时 $F(x)$ 仍可导，且

$$F'(0) =\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0} =\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(e^t+t^2)\,dt}{x}.$$

由洛必达法则或变上限积分函数结论可得

$$F'(0) =\lim_{x\to0}(e^x+x^2) =1.$$

因此当 $a\ne1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处仍可导，命题 ② 正确。

综上，真命题为 ①②，答案选 B。

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易错点

易错点一：不要把 $f(x)$ 的间断性直接套到 $F(x)$ 上。
$f(x)$ 有间断点，不代表 $F(x)$ 也有间断点。只要 $f(x)$ 可积，$F(x)$ 就连续。

易错点二：可去间断不影响 $F(x)$ 可导。
可去间断只改变 $f(x_0)$ 的函数值，不改变附近面积的变化率，所以 $F'(x_0)$ 取的是 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$。

易错点三：跳跃间断会让 $F(x)$ 左右导数不同。
左导数对应 $f(x_0^-)$，右导数对应 $f(x_0^+)$。若两者不等，则 $F(x)$ 不可导。

易错点四：必考上限积分函数一定要想到原函数。
当 $f(x)$ 连续时，

$$\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)'=f(x).$$

这就是变上限积分函数最常用的秒杀结论。