单位负反馈系统的开环、闭环与误差频率特性推导

这三种频率特性都是从单位负反馈系统的方框图推导出来的。

图中系统为：

R(s) \rightarrow \text{比较点} \rightarrow G(s) \rightarrow C(s)

输出 $C(s)$ 反馈回来，与输入 $R(s)$ 做差，误差信号为：

E(s) = R(s) - C(s)

经过前向通道 $G(s)$ 后得到输出：

C(s) = G(s)E(s)

这两条关系是核心。

1. 开环频率特性： $G(j\omega)$

开环指的是把反馈断开，只看前向通道本身：

E(s) \rightarrow G(s) \rightarrow C(s)

开环传递函数为：

\frac{C(s)}{E(s)} = G(s)

研究频率特性时，令 $s = j\omega$ ，得到开环频率特性：

G(j\omega)

因为是单位反馈，反馈通道为 $1$ ，所以开环就是 $G(s)$ 。若反馈通道为 $H(s)$ ，开环传递函数为 $G(s)H(s)$ ，频率特性为 $G(j\omega)H(j\omega)$ 。

闭环传递函数为：

\Phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)}

由方框图得：

E(s) = R(s) - C(s)

又因：

C(s) = G(s)E(s)

代入：

C(s) = G(s)[R(s) - C(s)]

展开：

C(s) = G(s)R(s) - G(s)C(s)

将含 $C(s)$ 的项移到左边：

C(s) + G(s)C(s) = G(s)R(s)

提取 $C(s)$ ：

C(s)[1 + G(s)] = G(s)R(s)

所以：

\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)}

令 $s = j\omega$ ，得到闭环频率特性：

\Phi(j\omega) = \frac{G(j\omega)}{1 + G(j\omega)}

误差传递函数为：

\Phi_e(s) = \frac{E(s)}{R(s)}

由系统关系：

E(s) = R(s) - C(s)

又有：

C(s) = G(s)E(s)

代入：

E(s) = R(s) - G(s)E(s)

将误差项移到左边：

E(s) + G(s)E(s) = R(s)

提取 $E(s)$ ：

E(s)[1 + G(s)] = R(s)

所以：

\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1 + G(s)}

令 $s = j\omega$ ，得到误差频率特性：

\Phi_e(j\omega) = \frac{1}{1 + G(j\omega)}

核心记法：

\boxed{E(s) = R(s) - C(s)}

\boxed{C(s) = G(s)E(s)}

把这两个式子联立，就能推出闭环和误差传递函数。频率特性只需将 $s$ 换成 $j\omega$ 。