方法一：区间再现推论

注意到 $2x-x^2 = 1-(x-1)^2$，所以 $\sqrt{2x-x^2}$ 关于区间 $[0,2]$ 的中点 $x=1$ 对称，由推论得

$\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}\,dx = \frac{0+2}{2}\int_0^2\sqrt{2x-x^2}\,dx = \int_0^2\sqrt{2x-x^2}\,dx$

又 $2x-x^2 = 1-(x-1)^2$，故上式是以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 $1$ 的上半圆面积，即

$\int_0^2\sqrt{2x-x^2}\,dx = \frac{\pi\cdot 1^2}{2} = \frac{\pi}{2}$

因此

$\boxed{\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}}$

方法二：配方加三角换元

含 $\sqrt{ax^2+bx+c}$ 的积分，通用步骤：先配方化为 $\sqrt{k^2-t^2}$、$\sqrt{t^2+k^2}$ 或 $\sqrt{t^2-k^2}$ 之一，再分别令 $t=k\sin\theta$、$t=k\tan\theta$ 或 $t=k\sec\theta$。

本题令 $t=x-1$，则 $x=t+1$，积分区间变为 $[-1,1]$：

$\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}\,dx = \int_{-1}^{1}(t+1)\sqrt{1-t^2}\,dt$

$= \underbrace{\int_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}\,dt}_{=\,0,\;\text{奇函数}} + \int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt$

由偶函数性质和三角换元 $t=\sin\theta$：

$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt = 2\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta$

$= \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2\theta)\,d\theta = \frac{\pi}{2}$

因此

$\boxed{\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}}$

因为 $|\sin(n\pi-x)|=|\sin x|$，故 $|\sin x|$ 关于 $x=\dfrac{n\pi}{2}$ 对称，由推论得

$\int_0^{n\pi}x|\sin x|\,dx = \frac{n\pi}{2}\int_0^{n\pi}|\sin x|\,dx$

又 $\int_0^{n\pi}|\sin x|\,dx = 2n$，故

$\boxed{\int_0^{n\pi}x|\sin x|\,dx = n^2\pi}$

因为 $|\cos(n\pi-x)|=|\cos x|$，故 $|\cos x|$ 关于 $x=\dfrac{n\pi}{2}$ 对称，由推论得

$\int_0^{n\pi}x|\cos x|\,dx = \frac{n\pi}{2}\int_0^{n\pi}|\cos x|\,dx$

又 $\int_0^{n\pi}|\cos x|\,dx = 2n$，故

$\boxed{\int_0^{n\pi}x|\cos x|\,dx = n^2\pi}$

被积函数中含 $\dfrac{e^x}{1+e^x}$，原函数难求，考虑区间再现。

令 $x = -t$，当 $x=-\dfrac{\pi}{2}$ 时 $t=\dfrac{\pi}{2}$，当 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 时 $t=-\dfrac{\pi}{2}$，故

$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-t}}{1+e^{-t}}\sin^4(-t)\,dt = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+e^t}\sin^4 t\,dt$

（利用 $\sin^4(-t)=\sin^4 t$ 及 $\dfrac{e^{-t}}{1+e^{-t}}=\dfrac{1}{1+e^t}$）

改回变量 $x$，与原式相加：

$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^x}\right)\sin^4 x\,dx$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 x\,dx$

因 $\sin^4 x$ 为偶函数：

$I = \frac{1}{2}\cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 x\,dx$

由华里士公式：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 x\,dx = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$

故

$\boxed{I = \frac{3\pi}{16}}$