洛必达法则：使用条件、单向性与可洛阶数

核心技巧

洛必达法则可以处理三类未定式：$\dfrac{0}{0}$ 型、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，以及较少见的 $\dfrac{*}{\infty}$ 型（分子极限不限）。

使用时有两个高频陷阱：

陷阱一：法则只能单向使用。 洛完之后极限存在 $\Rightarrow$ 原极限存在；但原极限存在 $\not\Rightarrow$ 洛完之后极限存在。

陷阱二：只有能保证洛完之后极限存在，才可以用洛必达。 关键看题目给的是”导数存在”还是”导数连续”——这决定了最多可以洛到几阶。

---

一、使用条件（三类未定式）

在研究

$$\frac{f(x)}{F(x)}$$

时，洛必达法则的使用条件如下：

未定式	条件	结论
$\dfrac{0}{0}$ 型	① $\lim f(x)=0$ 且 $\lim F(x)=0$； ② 去心邻域内 $f'(x)$、$F'(x)$ 都存在且 $F'(x)\ne0$； ③ $\lim \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在或为无穷大	$\lim \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$
$\dfrac{\infty}{\infty}$ 型	① $\lim f(x)=\infty$ 且 $\lim F(x)=\infty$； ② 去心邻域内 $f'(x)$、$F'(x)$ 都存在且 $F'(x)\ne0$； ③ $\lim \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在或为无穷大	$\lim \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$
$\dfrac{*}{\infty}$ 型	① $\lim F(x)=\infty$，不要求 $\lim f(x)=\infty$； ② 去心邻域内 $f'(x)$、$F'(x)$ 都存在且 $F'(x)\ne0$； ③ $\lim \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在或为无穷大	$\lim \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$

注：

① $a$ 可以等于 $\infty$。

② $\dfrac{*}{\infty}$ 型洛必达法则不用考虑分子的极限情况。

③ 数列极限不能直接洛必达，需先将其连续化处理；但数列极限可直接用泰勒和拉格朗日。

④ $\dfrac{*}{\infty}$ 型在 2025 年数一中进行了考察，此前几乎从未出现。

---

二、洛必达只能单向使用

洛必达法则只能单向使用：若满足使用条件，且洛完之后极限存在，可以推出原极限也存在。但原极限存在，推不出洛完之后极限存在。

例如

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sin x}{x}=1$$

但对分子分母分别求导后，结果为

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\cos x}{1}$$

不存在。

---

三、可以洛到几阶

只有能够保证洛完之后的极限存在，才可以使用洛必达。因此：

1. 若 $f(x)$ 在某点 $n$ 阶导数连续，则最多可以洛到 $n$ 阶；
2. 若 $f(x)$ 在某点 $n$ 阶可导，则最多可以洛到 $n-1$ 阶；
3. 若 $f(x)$ 在某点邻域内 $n$ 阶可导，则最多可以洛到 $n-1$ 阶；
4. 即便没有告诉你导数连续，但只要满足使用条件，能够证明洛完之后极限存在，就可以洛。

实际上，即便题中告诉你 $n$ 阶导数连续，也不一定能洛到 $n$ 阶；甚至告诉你 $100$ 阶可导，也可能连一次洛必达都用不了。

对于考研数学，可以不严谨地认为：

1. 若 $f(x)$ 在某点 $n$ 阶导数连续，则可以洛到 $n$ 阶；
2. 若 $f(x)$ 在某点 $n$ 阶可导，则可以洛到 $n-1$ 阶；
3. 若 $f(x)$ 在某点邻域内 $n$ 阶可导，则可以洛到 $n-1$ 阶。

一定要注意题中给的条件是”导数存在”还是”导数连续”。

---

例 1.1

此题只告诉你 $0$ 点处二阶可导，因此可以洛到一阶，不能洛到二阶。同时需要了解”对 $f'(x)$ 用导数定义”这个做法。

解答题例 1.1

已知

$$f(0)=f'(0)=0,\qquad f''(0)\ne0$$

求

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x f'(x)}$$

解答

也可以将极限改写为

$$\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{f(x)}{x}}{f'(x)}$$

---

错误做法

$$\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{f(x)}{x}}{f'(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}}{\lim\limits_{x\to0}f'(x)} = \frac{f'(0)}{f'(0)} = 1$$

错因： 分母极限为 $0$，不能将极限拆成 $\dfrac{\lim A}{\lim B}$ 的形式，这违背了极限的运算法则。

---

正确做法一：凑 $f''(0)$ 的形式

利用 $f''(0)\ne0$ 这一条件，凑出 $f''(0)$ 的形式。因为 $f'(0)=0$，所以

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x f'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{f(x)}{x^2}}{\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x}}$$

因为 $\lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x}=f''(0)$，所以

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{f''(0)}\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$$

对 $\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}$，这是 $\dfrac{0}{0}$ 型，洛必达一次（只用一阶，未超出允许次数）：

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{2x} = \frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x} = \frac{1}{2}f''(0)$$

（最后一步用导数定义，不是洛必达）

因此

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{f''(0)}\cdot\frac{1}{2}f''(0) = \boxed{\frac{1}{2}}$$

---

正确做法二：泰勒展开

结合 $f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$ 的信息，对 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 分别作泰勒展开。

因为 $f(0)=f'(0)=0$，所以

$$f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2) = \frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)$$ $$f'(x) = f'(0)+f''(0)x+o(x) = f''(0)x+o(x)$$

因此

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x f'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)}{x\left[f''(0)x+o(x)\right]} = \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{f''(0)}{2}x+o(x)}{f''(0)x+o(x)} = \boxed{\frac{1}{2}}$$

其中需要注意 $\dfrac{o(x^2)}{x}=o(x)$。

---

例 1.22

只告诉你邻域内可导，无法直接洛必达！

解答题例 1.22

已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内可导，且

$$f(0)=-1,\qquad f'(0)=2$$

求

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)+e^x}$$

---

解答

正确做法：泰勒展开

因为 $f(0)=-1,\;f'(0)=2$，所以

$$f(x)=-1+2x+o(x)$$

又因为

$$e^x=1+x+o(x)$$

所以

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)+e^x} = \lim_{x\to0}\frac{x}{-1+2x+1+x+o(x)} = \lim_{x\to0}\frac{x}{3x+o(x)} = \boxed{\frac{1}{3}}$$

---

错误做法：直接洛必达

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)+e^x} = \lim_{x\to0}\frac{1}{f'(x)+e^x} = \frac{1}{3}$$

错因： 题目只说 $f(x)$ 在 $0$ 的某邻域内可导，无法说明洛完之后的极限一定存在，因此不能直接洛必达。

反例： 取

$$f(x)=\begin{cases}-1+2x+x^2\sin\dfrac{1}{x}, & x\ne0 \\[6pt]-1, & x=0\end{cases}$$

则当 $x\ne0$ 时，

$$f'(x)=2+2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$

于是

$$\lim_{x\to0}\frac{1}{f'(x)+e^x} = \lim_{x\to0}\frac{1}{2+2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}+e^x}$$

不存在。