三角函数的有理式积分

\int R(\sin x,\cos x)\,dx

积分的原则：让分母尽可能简单。

（1）一般方法：万能代换

令 $\tan\dfrac{x}{2}=t$ ，则

\int R(\sin x,\cos x)\,dx = \int R\!\left(\frac{2t}{1+t^2},\,\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\,dt

优先判断被积函数是否满足以下对称性，满足则用对应换元，计算量远小于万能代换。

i） $\sin x$ 的奇函数

若 $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ ，令 $u=\cos x$ ，即凑 $d\cos x$ 。

ii） $\cos x$ 的奇函数

若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ ，令 $u=\sin x$ ，即凑 $d\sin x$ 。

iii） $\sin x$ 、 $\cos x$ 的偶函数

若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ ，令 $u=\tan x$ ，即凑 $d\tan x$ 。

判断方法：把被积函数中的 $\sin x$ 换成 $-\sin x$ （或 $\cos x$ 换成 $-\cos x$ ），看整体是否多出一个负号。

策略提示： 优先看是否满足（2）中的三条对称性；若均不满足，再考虑万能代换。万能代换只需死记结论，必要时由三角形手推即可。

令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ ，则 $x=2\arctan t$ ， $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ 。

由以角 $\dfrac{x}{2}$ 为锐角、对边为 $t$ 、邻边为 $1$ 、斜边为 $\sqrt{1+t^2}$ 的直角三角形，得

\sin\frac{x}{2}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\qquad \cos\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}

从而

\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x = \cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-t^2}{1+t^2}

三个替换公式汇总：

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt