表格法（分部积分的快速运算）

分部积分的本质：一个求导，另一个积分。

联立各次分部积分，得

$$\int u\,v^{(4)}\,dx = uv^{(3)} - u'v'' + u''v' - u^{(3)}v + \int u^{(4)}v\,dx.$$

表格结构

将 $u$ 的各阶导数与 $v^{(4)}$ 的各阶原函数排成两行：

	$u$	$u'$	$u''$	$u^{(3)}$	$u^{(4)}$
$u$ 的各阶导数	$u$	$u'$	$u''$	$u^{(3)}$	$u^{(4)}$
$v^{(4)}$ 的各阶原函数	$v^{(4)}$	$v^{(3)}$	$v''$	$v'$	$v$

错位相乘，各项符号 $+$、$-$ 相间：

项	$u\cdot v^{(3)}$	$u'\cdot v''$	$u''\cdot v'$	$u^{(3)}\cdot v$	$\displaystyle\int u^{(4)}v\,dx$
符号	$+$	$-$	$+$	$-$	$+$

计算方法： 以 $u$ 为起点，沿左上→右下方向错位相乘，符号 $+$、$-$ 依次交替，最后一项为 $\displaystyle\int u^{(4)}v\,dx$。

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例：$\int (x^3+2x+6)e^{2x}\,dx$

解答题例 1

计算 $\displaystyle\int (x^3+2x+6)e^{2x}\,dx$。

解答

列表（上行对 $u$ 逐次求导，下行对 $e^{2x}$ 逐次积分）：

$u$	$x^3+2x+6$	$3x^2+2$	$6x$	$6$	$0$
$v$ 的各阶原函数	$e^{2x}$	$\dfrac{1}{2}e^{2x}$	$\dfrac{1}{4}e^{2x}$	$\dfrac{1}{8}e^{2x}$	$\dfrac{1}{16}e^{2x}$
符号		$+$	$-$	$+$	$-\quad(+\int)$

因 $u$ 的第 4 阶导数为 $0$，最后一项积分消失，直接得

$$\begin{aligned} \int (x^3+2x+6)e^{2x}\,dx &=(x^3+2x+6)\cdot\frac{1}{2}e^{2x} -(3x^2+2)\cdot\frac{1}{4}e^{2x} +6x\cdot\frac{1}{8}e^{2x} \\ &\quad -6\cdot\frac{1}{16}e^{2x} \\ &=\left(\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{7}{4}x+\frac{17}{8}\right)e^{2x}+C. \end{aligned}$$

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例：$\int e^x\sin x\,dx$

解答题例 2

计算 $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$。

解答

当两个函数求导或积分后会循环出现（如指数×三角），表格只需列两步，第三项带 $\int$ 还原：

以 $\sin x$ 为求导行：

求导	$\sin x$	$\cos x$	$-\sin x$
积分	$e^x$	$e^x$	$e^x$
符号		$+$	$-\quad(+\int)$

$$\begin{aligned} \int e^x\sin x\,dx &= \sin x\cdot e^x - \cos x\cdot e^x - \int (-\sin x)\cdot e^x\,dx \\ &= e^x\sin x - e^x\cos x - \int e^x\sin x\,dx \end{aligned}$$

移项得

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C.$$

也可以 $e^x$ 为求导行：

求导	$e^x$	$e^x$	$e^x$
积分	$\sin x$	$-\cos x$	$-\sin x$
符号		$+$	$-\quad(+\int)$

两种列法结果相同。

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例：$\int e^x\cos 2x\,dx$

解答题例 3

计算 $\displaystyle\int e^x\cos 2x\,dx$。

解答

以 $\cos 2x$ 为求导行：

求导	$\cos 2x$	$-2\sin 2x$	$-4\cos 2x$
积分	$e^x$	$e^x$	$e^x$
符号		$+$	$-\quad(+\int)$

$$\begin{aligned} \int e^x\cos 2x\,dx &= \cos 2x\cdot e^x + 2\sin 2x\cdot e^x - 4\int e^x\cos 2x\,dx \end{aligned}$$

移项得

$$5\int e^x\cos 2x\,dx = e^x(\cos 2x+2\sin 2x) \implies \int e^x\cos 2x\,dx = \frac{1}{5}e^x(\cos 2x+2\sin 2x)+C.$$

也可以 $e^x$ 为求导行：

求导	$e^x$	$e^x$	$e^x$
积分	$\cos 2x$	$\dfrac{1}{2}\sin 2x$	$-\dfrac{1}{4}\cos 2x$
符号		$+$	$-\quad(+\int)$

$$\begin{aligned} \int e^x\cos 2x\,dx &= \frac{1}{2}\sin 2x\cdot e^x + \frac{1}{4}\cos 2x\cdot e^x - \frac{1}{4}\int e^x\cos 2x\,dx \end{aligned}$$

移项得

$$\frac{5}{4}\int e^x\cos 2x\,dx = e^x\!\left(\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x\right) \implies \int e^x\cos 2x\,dx = \frac{1}{5}e^x(2\sin 2x+\cos 2x)+C.$$

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补充：通用公式

$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{ae^{ax}\sin bx - be^{ax}\cos bx}{a^2+b^2} + C$$ $$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{ae^{ax}\cos bx + be^{ax}\sin bx}{a^2+b^2} + C$$

可用行列式形式记忆：

$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\sin bx)'\\ e^{ax} & \sin bx \end{vmatrix} + C, \qquad \int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\cos bx)'\\ e^{ax} & \cos bx \end{vmatrix} + C.$$

例如：

$$\int e^{-x}\sin nx\,dx = \frac{-e^{-x}\sin nx - ne^{-x}\cos nx}{1+n^2} + C.$$

此公式可以不掌握，只掌握表格法足矣。