第三章 积分

3.1 不定积分

注意：不定积分结果最后一定要加 $C$。

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3.1.1 常见函数的积分公式和处理手法

一、不定积分的性质

1. 原函数与不定积分

$$\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),\qquad d\int f(x)\,dx=f(x)\,dx$$

2. 微分与积分互逆

$$\int f'(x)\,dx=f(x)+C,\qquad \int df(x)=f(x)+C$$

3. 常数因子可以提出

$$\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx \qquad (k\text{ 为常数})$$

4. 和差可以拆开

$$\int [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$$

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二、基本积分公式

幂函数与倒数：

$$\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \quad (\alpha\ne -1),\qquad \int \frac1x\,dx = \ln|x|+C$$

指数函数：

$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+C \quad (a>0,\ a\ne 1),\qquad \int e^x\,dx = e^x+C$$

三角函数：

$$\begin{aligned} \int \sin x\,dx &= -\cos x+C, & \int \cos x\,dx &= \sin x+C \\[4pt] \int \sec^2x\,dx &= \tan x+C, & \int \csc^2x\,dx &= -\cot x+C \\[4pt] \int \sec x\tan x\,dx &= \sec x+C, & \int \csc x\cot x\,dx &= -\csc x+C \end{aligned}$$

特殊三角函数积分：

$$\int \sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+C,\qquad \int \csc x\,dx = -\ln|\csc x+\cot x|+C$$

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三、常见反三角与根式积分公式

下面公式默认 $a>0$。例如遇到 $\sqrt{9-x^2}$，应看成 $a=3>0$，而非 $(-3)^2$。

$$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac1a\arctan\frac xa+C$$ $$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac xa+C \qquad\Bigl(\text{特别地，}a=1:\;\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\Bigr)$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C$$

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四、$\displaystyle\int \csc x\,dx$ 的三种记法

三种等价形式：

$$\int \csc x\,dx = \begin{cases} -\ln|\csc x+\cot x|+C \\[4pt] \phantom{-}\ln|\csc x-\cot x|+C \\[4pt] \phantom{-}\ln\left|\tan\dfrac x2\right|+C \end{cases}$$

记忆建议： ① ② 记住一个即可。③ 最好也记住，有些题用 $\ln\!\left|\tan\dfrac x2\right|$ 更方便，但有些题反而会更麻烦（见下例）。

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五、例：为什么有时不用第 ③ 种形式

若只用 $\displaystyle\int \csc x\,dx=\ln\!\left|\tan\dfrac x2\right|+C$，则计算

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\csc x\,dx = \left[\ln\!\left|\tan\frac x2\right|\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \ln\!\left(\tan\frac\pi4\right)-\ln\!\left(\tan\frac\pi8\right)$$

其中 $\tan\dfrac\pi8$ 需要额外推导。

计算 $\tan\dfrac{\pi}{8}$

令 $t=\tan\dfrac\pi8$，由二倍角公式：

$$1 = \tan\frac\pi4 = \frac{2t}{1-t^2} \implies t^2+2t-1=0 \implies t = -1\pm\sqrt{2}$$

因为 $\tan\dfrac\pi8>0$，舍去负根，得 $\tan\dfrac\pi8=\sqrt{2}-1$。

可见，若只用第 ③ 种形式，计算上限时会多出这一步推导。

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六、24 数二二重积分大题中的用法

区域 $D$ 的极坐标表示为：

$$D=\left\{(r,\theta)\ \middle|\ \sqrt{\frac{2}{3\sin2\theta}}\le r\le\sqrt{\frac{6}{\sin2\theta}},\quad \arctan\frac13\le\theta\le\arctan3\right\}$$

化为极坐标后先对 $r$ 积分，整个计算链为：

$$\begin{aligned} \iint_D dxdy &= \int_{\arctan\frac13}^{\arctan3}d\theta\int_{\sqrt{\frac{2}{3\sin2\theta}}}^{\sqrt{\frac{6}{\sin2\theta}}}r\,dr \\[6pt] &= \frac12\int_{\arctan\frac13}^{\arctan3}\left(\frac{6}{\sin2\theta}-\frac{2}{3\sin2\theta}\right)d\theta \\[6pt] &= \frac83\int_{\arctan\frac13}^{\arctan3}\csc2\theta\,d\theta \\[6pt] &= \frac43\left[\ln|\csc2\theta-\cot2\theta|\right]_{\arctan\frac13}^{\arctan3} \end{aligned}$$

关键化简：$\csc 2\theta - \cot 2\theta = \tan\theta$

$$\csc2\theta-\cot2\theta =\frac{1-\cos2\theta}{\sin2\theta} =\frac{2\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} =\tan\theta$$

代入上下限

$\theta=\arctan3$ 时 $\tan\theta=3$，$\theta=\arctan\dfrac13$ 时 $\tan\theta=\dfrac13$，因此

$$\iint_D dxdy =\frac43\left(\ln3-\ln\frac13\right) =\frac43\ln9 =\frac83\ln3$$

本题启示

使用 $\displaystyle\int\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$ 更简单，因为 $\csc2\theta-\cot2\theta=\tan\theta$ 直接化成 $\ln|\tan\theta|$，代入上下限非常干净。若用 $\ln\!\left|\tan\dfrac x2\right|$ 形式，上限处会出现 $\tan\dfrac\pi8$ 这类麻烦的值。

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七、换元法

1. 基本思想

对 $\int f(x)\,dx$，令 $x=g(u)$，则 $dx=g'(u)\,du$，从而

$$\int f(x)\,dx = \int f[g(u)]\,g'(u)\,du$$

2. 适用情况

被积函数含有根式等复杂结构时，例如 $\sqrt{e^x+1}$、$\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+1}}$、$\dfrac{1}{\sqrt{e^x+1}}$，可将复杂部分设为新变量，化简被积式。

3. 注意事项

• 换元要求 $x=g(u)$ 是单调可导函数；
• 计算结束后必须用反函数 $u=g^{-1}(x)$ 回代，换回原变量。

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八、三角换元

三角换元中，所令的函数必须在选定区间内单调，以保证反函数唯一。

1. 含 $\sqrt{a^2-x^2}$

令 $x=a\sin t$，取 $t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$，则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$，事后反解 $t=\arcsin\dfrac xa$。

也可令 $x=a\cos t$，取 $t\in[0,\pi]$。

2. 含 $\sqrt{a^2+x^2}$

令 $x=a\tan t$，取 $t\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$，利用 $1+\tan^2t=\sec^2t$ 去根号。

3. 含 $\sqrt{x^2-a^2}$

令 $x=a\sec t$，取 $t\in\left[0,\dfrac\pi2\right)\cup\left(\dfrac\pi2,\pi\right]$。

4. 常用恒等式

$$1+\tan^2x=\sec^2x,\qquad (\tan x)'=\sec^2x,\qquad (\sec x)'=\sec x\tan x$$

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九、分部积分法

设 $u(x),v(x)$ 有连续一阶导数，则

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

选择 $u$ 和 $dv$ 的原则：使 $\int v\,du$ 比原积分 $\int u\,dv$ 更容易处理。

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十、常见分部积分类型

设 $p_n(x)$ 为 $n$ 次多项式：

类型	积分形式	处理方式
多项式 × 指数	$\int p_n(x)e^{ax}\,dx$	指数函数凑入 $dv$
多项式 × 三角	$\int p_n(x)\sin ax\,dx$，$\int p_n(x)\cos ax\,dx$	三角函数凑入 $dv$
多项式 × 对数	$\int p_n(x)\ln x\,dx$	多项式凑入 $dv$，对数作 $u$
多项式 × 反三角	$\int p_n(x)\arctan x\,dx$，$\int p_n(x)\arcsin x\,dx$	多项式凑入 $dv$，反三角作 $u$
指数 × 三角	$\int e^{ax}\sin\beta x\,dx$，$\int e^{ax}\cos\beta x\,dx$	连续分部两次后方程还原

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十一、分部积分记忆口诀

反对幂指三——越靠左越难积分，越适合作 $u$；越靠右越容易积分，越适合凑入 $dv$：

$$\text{反三角} > \text{对数} > \text{幂函数} > \text{指数} > \text{三角}$$

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十二、整体速记总结

① 不定积分一定加 $C$： $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$

② 根式积分看结构：

$$\begin{aligned} \sqrt{a^2-x^2} &\;\Rightarrow\; x=a\sin t \\ \sqrt{a^2+x^2} &\;\Rightarrow\; x=a\tan t \\ \sqrt{x^2-a^2} &\;\Rightarrow\; x=a\sec t \end{aligned}$$

③ 三角换元注意主值区间： 如 $x=a\sin t$ 默认 $t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$，方可反解 $t=\arcsin\dfrac xa$。

④ 分部积分口诀： 反对幂指三，靠左作 $u$，靠右凑 $dv$。

⑤ $\displaystyle\int\csc x\,dx$ 的三种形式都要认识：

$$-\ln|\csc x+\cot x|+C \;=\; \ln|\csc x-\cot x|+C \;=\; \ln\left|\tan\frac x2\right|+C$$

做题时根据上下限和化简情况选择最方便的一种。例如 24 数二二重积分题中，$\ln|\csc x-\cot x|$ 可直接化成 $\ln|\tan\theta|$，代入最简便。