分析 使用变量代换 $x=\cos t$，$y(x)$ 变为 $y(\cos t)$，这是一个关于 $t$ 的函数。利用链式法则，将 $y',y''$ 用 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 表示，从而将原方程化简。

第一步：求导转换

由于 $x=\cos t$，故 $\dfrac{dx}{dt}=-\sin t$，$\dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{\sin t}$。

根据链式法则：

第二步：代入原方程

将 $x=\cos t$ 代入 $(1-x^2)y''-xy'+y=0$ 可得：

将 $y',y''$ 关于 $\dfrac{dy}{dt},\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 的表达式代入 (1) 式，化简得：

第三步：求解关于 $t$ 的方程

这是关于 $t$ 的二阶常系数齐次线性微分方程，特征方程为 $r^2+1=0$，特征根为 $r_{1,2}=\pm\text{i}$。

于是其解为：

第四步：换回 $x$ 的表达式再代入初值

由 $x=\cos t$，且 $t\in(0,\pi)$ 时 $\sin t>0$，故 $\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-x^2}$。

代入得：

由 $y(0)=1$ 可得 $C_1=1$。由 $y'(0)=2$ 可得 $C_2=2$。

因此，所求特解为：

错误做法：当 $x=0$ 时，$t=\dfrac{\pi}{2}$。由 $y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t$ 以及 $y(0)=1$ 可得 $C_2=1$。由 $y'(t)=-C_1\sin t+C_2\cos t$ 以及 $y'(0)=2$ 可得 $C_1=-2$。

错因分析：

关键：$x=0\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$，$y(x)|_{x=0}=y(t)|_{t=\frac{\pi}{2}}$，但 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=0}$ 和 $\left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ 并不相等，必须乘上 $\dfrac{dt}{dx}$ 的变换系数。

正确做法是将通解换回 $x$ 的表达式，再代入 $x$ 的初值求常数。

第一步：换元简化积分

对积分 $\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)dt$ 做换元，令 $u=x-t$，可得：

第二步：两边求导

等式两边对 $x$ 求导整理，得 $f(0)=1$（初值条件）。

第三步：再次求导得微分方程

两边再次对 $x$ 求导：

推导得 $f'(0)=f(0)=1$。

第四步：求解

解 $f'(x)=f(x)$ 得 $f(x)=Ce^x$，代入 $f(0)=1$ 得 $C=1$。

因此：

方程两边对 $x$ 求导得：

再求导得：

将 ① 式的 $f'(1-x)=f(x)$ 代入 ② 式，得：

即 $f''(x)+f(x)=0$。

求初值条件：由原式得 $f(0)=1$；① 式令 $x=0$ 得 $f'(0)=f(1)$。

通解为 $f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$，代入 $f(0)=1$ 得 $C_1=1$。再结合 $f'(0)=f(1)$ 解得 $C_2=\dfrac{\cos 1}{1-\sin 1}$。

因此：

用导数定义展开：

同时令 $x=y=0$，得 $f(0)=2f(0)$，即 $f(0)=0$。

解一阶线性微分方程 $f'(x)-f(x)=2e^x$，得：

令 $x=y=1$，得 $f(1)=2f(1)$，即 $f(1)=0$。

用导数定义展开：

$f'(x)=\dfrac{1}{x}$ 说明 $f(x)$ 处处可导，积分得 $f(x)=\ln x+C$，代入 $f(1)=0$ 得 $C=0$。

因此：