导数选择题

一、函数推不出导数

\lim_{x \to +\infty} f'(x) \text{ 存在 } \nRightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ 存在}

\lim_{x \to +\infty} f''(x) \text{ 存在 } \nRightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ 存在}

反例均为 $f(x) = \sin\sqrt{x}$ ， $f(x)$ 最终为震荡的形式。

点上的性质，只能推出点上的结论；邻域内的性质，才能推出邻域内的结论。

也就是：

一点处可导，只能推出：函数在这一点连续。不能推出：函数在这一点附近都连续。

一点处二阶可导，只能推出：一阶导数在这一点处可导，因此一阶导数在这一点处连续。不能推出：一阶导数在这一点附近连续。

※ 若想推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则必须同时满足以下4条：

① 一动趋一定，反例如 $\lim_{h\to0}\frac{1}{h}[f(2h)-f(h)]$ ；

整体极限存在，推不出拆开之后极限也存在。
但若已知 $f'(0)$ 存在，则反例极限一定存在。
因为此时可以推出拆开后的两部分极限都存在，所以可以拆， $\lim(a+b)=\lim a+\lim b$

② 可正可负 ，反例如 $\lim_{h\to0}\frac{1}{h^2}f(1-\cos h)$ ;

③ 上下同阶（或分子阶数小于等于母阶数）（若想要条件则必须同阶），反例如 $\lim_{h\to0}\frac{1}{h^2}f(h-\sin h)$ ;

④ 填满邻域，反例 $\lim_{n\to\infty}\frac{f(\frac1n)-f(0)}{\frac1n}$ ，取不到无理数。