绝对值的分界点是 $t=0$，积分区间是 $[-1,x]$。按 $x$ 与 $0$ 的关系分两种情况。

情况一：$-1\le x<0$

积分区间 $[-1,x]$ 完全在 $t<0$ 的范围内，未跨过分界点，故

$$|t|=-t, \qquad 1-|t|=1+t$$

直接积分：

$$\int_{-1}^{x}(1+t)\,dt =\left.\frac{(1+t)^2}{2}\right|_{-1}^{x} =\frac{(1+x)^2}{2}$$

情况二：$x\ge 0$

积分区间 $[-1,x]$ 跨过了 $t=0$，在该点拆开：

$$\int_{-1}^{x}(1-|t|)\,dt =\int_{-1}^{0}(1-|t|)\,dt+\int_{0}^{x}(1-|t|)\,dt$$

左段 $t\in[-1,0]$：$|t|=-t$，被积函数为 $1+t$；
右段 $t\in[0,x]$：$|t|=t$，被积函数为 $1-t$。

$$=\int_{-1}^{0}(1+t)\,dt+\int_{0}^{x}(1-t)\,dt =\frac{1}{2}+\left(x-\frac{x^2}{2}\right) =\frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}$$

也可以整理为

$$1-\frac{(1-x)^2}{2}$$

最终结果

$$\int_{-1}^{x}(1-|t|)\,dt = \begin{cases} \dfrac{(1+x)^2}{2}, & -1\le x<0 \\[8pt] 1-\dfrac{(1-x)^2}{2}, & x\ge 0 \end{cases}$$