方法一：举特例

$g(x)=x$ 是一次多项式，故设 $f(x)=ax^2+bx+c$，则

$f(x+2)-f(x)=4ax+(4a+2b)=x$

比较系数：$4a=1,\;4a+2b=0$，解得 $a=\tfrac{1}{4},\;b=-\tfrac{1}{2}$。

代入

$\int_0^2\!\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}+c\right)dx=0$

解得 $c=\tfrac{1}{6}$。

$\int_1^3 f(x)\,dx=\int_1^3\!\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)dx=\boxed{\frac{1}{2}}$

方法二：区间平移

将目标积分做区间拆分：

$\int_1^3 f(x)\,dx=\underbrace{\int_0^2 f(x)\,dx}_{=0}+\int_2^3 f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx$

$=\int_2^3 f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx$

对递推关系在 $[0,1]$ 上积分：

$\int_0^1 f(x+2)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$

换元 $t=x+2$，左端第一项变为 $\int_2^3 f(t)\,dt$，故

$\int_2^3 f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{2}$

因此

$\int_1^3 f(x)\,dx=\boxed{\frac{1}{2}}$

方法三：构造变上下限积分

令

$F(x)=\int_x^{x+2}f(t)\,dt$

则

$F'(x)=f(x+2)-f(x)=x \implies F(x)=\frac{x^2}{2}+C$

由 $F(0)=\int_0^2 f(t)\,dt=0$ 得 $C=0$，故 $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$。

注意到 $F(1)=\int_1^3 f(t)\,dt$，故

$\int_1^3 f(x)\,dx=F(1)=\boxed{\frac{1}{2}}$

方法一：逐段求表达式

$x\in[\pi,2\pi)$：$x-\pi\in[0,\pi)$，故 $f(x-\pi)=x-\pi$，

$f(x)=x-\pi+\sin x$

$x\in[2\pi,3\pi)$：$x-\pi\in[\pi,2\pi)$，故 $f(x-\pi)=(x-\pi)-\pi+\sin(x-\pi)=x-2\pi-\sin x$，

$f(x)=x-2\pi-\sin x+\sin x=x-2\pi$

于是

$\int_\pi^{3\pi}f(x)\,dx=\int_\pi^{2\pi}(x-\pi+\sin x)\,dx+\int_{2\pi}^{3\pi}(x-2\pi)\,dx=\boxed{\pi^2-2}$

方法二：区间平移

对递推关系在 $[\pi,3\pi]$ 上积分：

$\int_\pi^{3\pi}f(x)\,dx=\int_\pi^{3\pi}f(x-\pi)\,dx+\underbrace{\int_\pi^{3\pi}\sin x\,dx}_{=0}$

令 $t=x-\pi$，右端变为 $\int_0^{2\pi}f(t)\,dt$，故

$\int_\pi^{3\pi}f(x)\,dx=\int_0^\pi f(t)\,dt+\int_\pi^{2\pi}f(t)\,dt$

$=\frac{\pi^2}{2}+\int_\pi^{2\pi}f(t)\,dt$

再对 $\int_\pi^{2\pi}f(t)\,dt$ 用同样的递推关系，令 $u=t-\pi$：

$\int_\pi^{2\pi}f(t)\,dt=\int_0^\pi f(u)\,du+\int_\pi^{2\pi}\sin t\,dt=\frac{\pi^2}{2}-2$

故

$\int_\pi^{3\pi}f(x)\,dx=\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi^2}{2}-2=\boxed{\pi^2-2}$

方法三：构造变上下限积分

令

$F(x)=\int_{x-\pi}^{x}f(t)\,dt$

则

$F'(x)=f(x)-f(x-\pi)=\sin x \implies F(x)=-\cos x+C$

由

$F(\pi)=\int_0^\pi f(t)\,dt=\int_0^\pi t\,dt=\frac{\pi^2}{2}$

解得

$-\cos\pi+C=\frac{\pi^2}{2} \implies C=\frac{\pi^2}{2}-1$

故 $F(x)=-\cos x+\dfrac{\pi^2}{2}-1$。

注意 $F(2\pi)=\int_\pi^{2\pi}f(t)\,dt$，$F(3\pi)=\int_{2\pi}^{3\pi}f(t)\,dt$，故

$\int_\pi^{3\pi}f(x)\,dx=F(2\pi)+F(3\pi)$

$=\left(-1+\frac{\pi^2}{2}-1\right)+\left(1+\frac{\pi^2}{2}-1\right)=\boxed{\pi^2-2}$