4.7 给出具体变换，求解微分方程

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数二常考此类题目，此题题目处理手法很简单，慢慢算即可。

例 4.32 2005 数二真题　此题给出的是 $x$ 的变换，意味着你要利用这个变换干掉 $x$，因此要在 $y$ 和 $x$ 的方程中，干掉 $x$，将其变为 $y$ 和 $t$ 的方程。需要注意的是，在代入初值条件对 $C$ 进行求解时，必须将其写成 $y$ 和 $x$ 的函数才行！否则可能会出错！如下面“注”所示。

用变量代换

$$x=\cos t\quad(0<t<\pi)$$

化简微分方程

$$(1-x^2)y''-xy'+y=0,\quad$$

并求其满足

$$\left.y\right|_{x=0}=1,\quad \qquad \left.y'\right|_{x=0}=2$$

的特解。

分析　使用变量代换 $x=\cos t$ 后，$y(x)$ 变为 $y(\cos t)$，这是一个关于 $t$ 的函数，利用链式法则，可以将 $y'',\quad y'$ 用 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 和 $\dfrac{dy}{dt}$ 表示出来，从而将原方程简化。

解　由于 $x=\cos t$，故

$$\frac{dx}{dt}=-\sin t,\quad \qquad \frac{dt}{dx}=-\frac1{\sin t}.$$

根据链式法则，

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=-\frac1{\sin t}\frac{dy}{dt},\quad$$ $$y''=\frac{d\left(-\frac1{\sin t}\frac{dy}{dt}\right)}{dt}\frac{dt}{dx} =-\frac{\cos t}{\sin^3t}\frac{dy}{dt}+\frac1{\sin^2t}\frac{d^2y}{dt^2}.$$

另一方面，将 $x=\cos t$ 代入

$$(1-x^2)y''-xy'+y=0$$

可得

$$\sin^2t y''-\cos t y'+y=0.\tag{1}$$

将 $y',\quad y''$ 关于 $\dfrac{dy}{dt},\quad \dfrac{d^2y}{dt^2}$ 的表达式代入（1）式，可得

$$\frac{d^2y}{dt^2}-\cot t\frac{dy}{dt}+\cot t\frac{dy}{dt}+y=0,\quad$$

即

$$\frac{d^2y}{dt^2}+y=0.$$

这是一个关于 $y,\quad t$ 的二阶常系数齐次线性微分方程。特征方程为 $r^2+1=0$，特征根为 $r_{1,2}=\pm i$。于是，其解为

$$y=C_1\cos t+C_2\sin t,\quad$$

其中 $C_1,\quad C_2$ 为待定常数。

将 $x=\cos t$ 代入 $y=C_1\cos t+C_2\sin t$，可得

$$y=C_1x+C_2\sqrt{1-x^2}.$$

由 $y(0)=1$ 可得 $C_2=1$。由 $y'(0)=2$ 可得

$$\left.C_1+\frac{C_2(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}\right|_{x=0}=2,\quad$$

解得 $C_1=2$。

因此，所求特解为

$$y=2x+\sqrt{1-x^2}.$$

💡 【笔记】 注

下述解法是错误的。当 $x=0$ 时，$t=\dfrac\pi2$。由 $y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t$ 以及 $y(0)=1$ 可得 $C_2=1$；由 $y'(t)=-C_1\sin t+C_2\cos t$ 以及 $y'(0)=2$ 可得 $C_1=-2$。错误原因是：$y'(0)$ 是对 $x$ 求导的导数，而此时 $t=\dfrac\pi2$，不能把 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$ 直接相等。

💡 【技巧与方法】 手稿批注

$x=0\Longleftrightarrow t=\dfrac\pi2$，函数值可以直接对应，但 $\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\dfrac{dy}{dt}$ 并不相等；应使用 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}$。

例 4.33 1998 数二真题　此题给出的是 $y$ 的变换，意味着你要利用这个变换干掉 $y$，因此要在 $y$ 和 $x$ 的方程中，干掉 $y,\quad y',\quad y''$，将 $y$ 和 $x$ 的方程，转化为 $u$ 和 $x$ 的方程。

此题还有几个点需要大家注意：

① 思维课特意提过，导数符号中的撇，指的是对 $x$ 求导；

② 既然我们要把方程中的 $y,\quad y',\quad y''$ 都干掉，那么最直观的思路一定是直接用题中所给的代换，计算得到 $y'$ 和 $y''$，但此题直接计算 $\dfrac{u}{\cos x}$ 对 $x$ 的导数，计算量很大，于是可以对其进行恒等变形，如答案所示，变成 $y=u\sec x$，化分式为整式，从而减轻计算量。

③ 此题常规思路是计算 $y'$ 和 $y''$，但若发现计算量太大，可以尝试着计算 $u'$ 和 $u''$，然后将其凑出对应的形式。如蓝色笔迹所示。

利用变换

$$y=\frac{u}{\cos x}$$

将方程

$$y''\cos x-2y'\sin x+3y\cos x=e^x$$

化简，并求出原方程的通解。

分析　已知 $y$ 与 $u$ 的关系，可以求出 $y',\quad y''$ 与 $u',\quad u''$ 的关系，代入已知方程即可将其化简。

解　由 $y=\dfrac{u}{\cos x}$ 可得 $y=u\sec x$。

由链式法则可得

$$y'=u'\sec x+u\sec x\tan x,\quad$$ $$y''=u''\sec x+2u'\sec x\tan x+u(\sec^3x+\tan^2x\sec x).$$

将 $y',\quad y''$ 代入

$$y''\cos x-2y'\sin x+3y\cos x=e^x$$

可得

$$u''+2u'\tan x+u(\sec^2x+\tan^2x)-2u'\tan x-2u\tan^2x+3u=e^x.\tag{1}$$

将（1）式化简可得

$$u''+4u=e^x.$$

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。该方程对应的齐次方程的特征方程为 $r^2+4=0$，特征根为 $r_{1,2}=\pm2i$。该齐次方程的通解为

$$u=C_1\cos2x+C_2\sin2x.$$

注意到非齐次项 $e^x=e^{\lambda x},\quad \lambda=1$。由于 $\lambda=1$ 不是特征方程的根，故可设 $u^*=Ae^x$。代入 $u''+4u=e^x$ 可得 $5Ae^x=e^x$，于是 $A=\dfrac15$。

故 $u''+4u=e^x$ 的通解为

$$u=C_1\cos2x+C_2\sin2x+\frac15e^x.$$

因此，原方程的通解为

$$y=\frac{C_1\cos2x}{\cos x}+2C_2\sin x+\frac{e^x}{5\cos x},\quad$$

其中 $C_1,\quad C_2$ 为任意常数。

💡 【技巧与方法】 手稿批注

此题也可以令 $u=y\cos x$，再由 $u'$、$u''$ 凑出 $u''+4u=e^x$。