4.11 微分方程和其他题型的组合

总目录 · 笔记整理索引 · 本章索引 · 上一节：4.10 f(x)和g(x)共同确定的微分方程 · 下一节：4.12 微分方程应用题（数二中高频考点）

4.11.1 微分方程 + 连续

例 4.41 1999 数三真题，利用连续来解出 $C$

设有微分方程

$$y'-2y=\varphi(x),\quad$$

其中

$$\varphi(x)= \begin{cases} 2,\quad &x<1,\quad \\ 0,\quad &x>1,\quad \end{cases}$$

试求在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数 $y=y(x)$，使之在 $(-\infty,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 内都满足所给方程，且满足条件 $y(0)=0$。

分析　$\varphi(x)$ 为分段函数，故在 $(-\infty,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上解 $y(x)$ 时需代入相应的表达式。

解　当 $x<1$ 时，微分方程为 $y'-2y=2$。由求解公式可得

$$\begin{aligned} y&=e^{\int2dx}\left(\int2e^{-\int2dx}dx+C_0\right)\\ &=e^{2x}\left(2\int e^{-2x}dx+C_0\right)\\ &=e^{2x}(-e^{-2x}+C_0)=C_0e^{2x}-1,\quad \end{aligned}$$

其中 $C_0$ 为待定常数。

由 $y(0)=0$ 得 $C_0=1$，故当 $x<1$ 时

$$y=e^{2x}-1.$$

当 $x>1$ 时，微分方程为 $y'-2y=0$。分离变量得

$$\frac{dy}{y}=2dx.$$

方程两端同时积分可得

$$\ln|y|=2x+C_1,\quad$$

从而

$$y=C_2e^{2x},\quad$$

其中 $C_2$ 为待定常数。

由于 $y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，故

$$\lim_{x\to1^+}C_2e^{2x}=\lim_{x\to1^-}(e^{2x}-1)=e^2-1.$$

于是 $C_2e^2=e^2-1$，解得

$$C_2=1-e^{-2}.$$

因此，当 $x>1$ 时，

$$y=(1-e^{-2})e^{2x}.$$

若补充定义 $y(1)=e^2-1$，则得 $(-\infty,+\infty)$ 内满足 $y'-2y=\varphi(x)$ 的连续函数

$$y(x)= \begin{cases} e^{2x}-1,\quad &x\le1,\quad \\ (1-e^{-2})e^{2x},\quad &x>1. \end{cases}$$

4.11.2 微分方程 + 无穷小量级判断（见 1.1.12 题型三）

4.11.3 微分方程 + 求解极限（思路同 4.11.2）

例 4.41.1 2002 考研真题，思路和 1.1.12 小节题型三相同，本质都是泰勒

设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程

$$y''+py'+qy=e^{3x}$$

满足初始条件

$$y(0)=y'(0)=0$$

的特解，则当 $x\to0$ 时，函数

$$\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)}$$

的极限（　　）

（A）不存在　（B）等于 1　（C）等于 2　（D）等于 3

答案：C。

分析　由已知条件可以得到 $y''(0)$ 的值，计算

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)},\quad$$

再代入 $y''(0)$ 即可。

解　将 $x=0,\quad y(0)=y'(0)=0$ 代入

$$y''+py'+qy=e^{3x}$$

可得 $y''(0)=1$。

计算极限。

（法一）利用泰勒公式。由于 $y(x)$ 在 $x=0$ 处的带偏项式的二阶泰勒公式为

$$y(x)=y(0)+y'(0)x+\frac{y''(0)}2x^2+o(x^2) =\frac{x^2}{2}+o(x^2),\quad$$

故

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)} =\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}=2.$$

4.11.4 微分方程 + 极值点拐点（见 2.3.5）

4.11.5 微分方程 + 求 n 阶导数（见 2.4.10 例 2.57）

4.11.6 微分方程 + 反常积分（见 3.5.3）

4.11.7 特殊题型：可导函数中，见到“对于任意非 x 变量”

若题干明确表明函数 $f(x)$ 可导，同时还出现了“对于任意非 $x$ 变量，恒有某等式成立”，则此时意味着，我们既可以对 $x$ 求导，还可以对题中出现的非 $x$ 变量求导！这种题还会涉及到两个步骤：“对某个变量赋值”和“死皮赖脸构建微分方程”。

带着这个思想，我们再来回顾思维课的例 4.36 的方法一，即可条件反射般想到“此题可对 $a$ 求导”。既然是对 $a$ 求导，那 $x$ 要当做常数对待，于是此时可以对其赋值，之后死皮赖脸构建微分方程，后续的处理如答案所示。

（8）设 $f(x)$ 有连续导数，对任意 $a$ 满足

$$f(x+a)=\int_x^{x+a}\frac{t(t^2+1)}{f(t)}dt+f(x),\quad$$

且 $f(1)=\sqrt2$，则

$$f(x)=\frac{\sqrt2}{2}(x^2+1).$$

解　将 $x=0$ 代入已知等式，有

$$f(a)=\int_0^a\frac{t(t^2+1)}{f(t)}dt+f(0).$$

两边同时对 $a$ 求导，得

$$f'(a)=\frac{a(a^2+1)}{f(a)}.$$

故

$$2f(a)f'(a)=2a+2a^3.$$

积分得

$$[f(a)]^2=a^2+\frac12a^4+C.$$

由 $f(1)=\sqrt2$，得 $C=\dfrac12$，故

$$f(x)=\frac{\sqrt2}{2}(x^2+1).$$

例 4.41.2 26 超越模拟卷　此题等式右端可导，所以左端一定可导。可导函数中出现任意非 $x$ 变量，则意味着此时既可以对 $x$ 求导，又可以对题目中出现的非 $x$ 变量求导。核心思想是“赋值 + 分别求导 + 死皮赖脸构建微分方程”。

设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续，且 $f(1)=3$。对任意的 $x,\quad y\in(0,+\infty)$，恒有等式

$$\int_1^{xy} f(t)dt=y^2\int_1^x f(t)dt+2x\int_1^y f(t)dt$$

成立。

（I）求函数 $f(x)$；

（II）求由 $y=f(x)$ 和直线 $x=1,\quad x=e$ 及 $x$ 轴围成的图形绕直线 $x=1$ 旋转一周形成的旋转体的体积。

解（I）　等式两边同时对 $x$ 求偏导得

$$yf(xy)=y^2f(x)+2\int_1^y f(t)dt.$$

令 $x=1$，得

$$0=y^2f(1)+2\int_1^y f(t)dt.$$

又因 $f(1)=3$，等式两边同时对 $y$ 求导得

$$f(y)+yf'(y)=6y+2f(y),\quad$$

即

$$f'(y)-\frac1y f(y)=6.$$

故

$$f(y)=e^{\int\frac1y dy}\left[\int6e^{-\int\frac1y dy}dy+C\right] =y(6\ln y+C).$$

又 $f(1)=3$ 得 $C=3$，所以

$$f(y)=6y\ln y+3y,\quad$$

即

$$f(x)=6x\ln x+3x.$$

解（II）　旋转体体积为

$$\begin{aligned} V&=\int_1^e2\pi(x-1)(6x\ln x+3x)dx\\ &=6\pi\int_1^e(2x^2\ln x-2x\ln x-x)dx\\ &=\left(\frac79e^3-\frac19-e^2\right)6\pi. \end{aligned}$$

💡 【技巧与方法】 手稿批注

先赋值，再分别求导，最后构建微分方程；旋转体使用后答案法：$V=2\pi\int_1^e(x-1)f(x)dx$。