2.5 渐近线

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渐近线这部分属于考研数学的基本功，渐近线分为铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，水平渐近线实际上可以看做是一种特殊的斜渐近线（斜率为 0）。

铅直渐近线和水平渐近线较为基础和简单，思维课不做具体讲解。

1 铅直渐近线

若

$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty \quad\text{（或）}\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty,$$

则 $x=x_0$ 为一条铅直渐近线。

2 水平渐近线

若

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_1,$$

则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线；若

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_2,$$

则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线。

若

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_0,$$

则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线。

3 斜渐近线

若

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=a_1\quad(a_1\ne0), \qquad \lim_{x\to+\infty}[f(x)-a_1x]=b_1,$$

则 $y=a_1x+b_1$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线；

若

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=a_2\quad(a_2\ne0), \qquad \lim_{x\to-\infty}[f(x)-a_2x]=b_2,$$

则 $y=a_2x+b_2$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线；

若

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x =\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=a\quad(a\ne0),$$ $$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax] =\lim_{x\to-\infty}[f(x)-ax]=b,$$

则 $y=ax+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线。

手稿批注：

设斜渐近线为 $y=kx+b$。

$$\begin{aligned} k &=\lim_{x\to+\infty}\frac yx\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-1)e^{\frac\pi2+\arctan x}}x =e^\pi. \end{aligned}$$

直接计算

$$\lim_{x\to+\infty}(y-kx)$$

时，发现其中的极限不能直接求出，因此

$$\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(y-e^\pi x)\\ &=\lim_{x\to+\infty}\left[(x-1)e^{\frac\pi2+\arctan x}-e^\pi x\right]\\ &=-e^\pi+\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\arctan x-\frac\pi2}-e^0\right)\\ &=-e^\pi+e^\pi\lim_{x\to+\infty} x\left(e^{\arctan x-\frac\pi2}-1\right)\\ &=-e^\pi+e^\pi \lim_{x\to+\infty} x\left(\arctan x-\frac\pi2\right)\\ &=-e^\pi-e^\pi=-2e^\pi. \end{aligned}$$

其中

$$\lim_{x\to+\infty}x\left(\arctan x-\frac\pi2\right)=-1.$$

故斜渐近线为

$$y=e^\pi x-2e^\pi.$$

手稿批注：

设斜渐近线方程为 $y=kx+b$。

$$k = \lim_{x\to+\infty}\frac yx = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^x}{(1+x)^x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(1+\frac1x\right)^x} = \frac1e.$$ $$\begin{aligned} b &= \lim_{x\to+\infty}\left(y - \frac xe\right) \\ &= \lim_{x\to+\infty} x\left[\left(1+\frac1x\right)^{-x} - \frac1e\right] \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left[e^{1 - x\ln\left(1+\frac1x\right)} - 1\right] \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left[1 - x\ln\left(1+\frac1x\right)\right] \quad (\text{因 } e^u - 1 \sim u,\ u \to 0) \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left\{1 - x\left[\frac1x - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]\right\} \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left[\frac{1}{2x} + o\left(\frac1x\right)\right] \\ &= \frac{1}{2e}. \end{aligned}$$

故斜渐近线为

$$y=\frac1e x+\frac1{2e}.$$

值得一提的是，在一些练习册和模拟卷中，也会出现给出参数方程或极坐标方程，让你求解斜渐近线，目前真题尚未考过。

记住，无论方程形式如何变化，$k$ 和 $b$ 的求解方式都是不变的。

手稿批注：

$x\to+\infty\Longleftrightarrow t\to-1$，即当自变量 $t\to-1$ 时，$x\to+\infty$。

$$\begin{aligned} k &=\lim_{x\to+\infty}\frac yx =\lim_{t\to-1}\frac{t^2}{1+t^3}\cdot\frac{1+t^3}{t} =\lim_{t\to-1}t=-1. \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(y-kx) =\lim_{t\to-1}(y+x)\\ &=\lim_{t\to-1}\frac{t^2+t}{1+t^3} =\lim_{t\to-1}\frac{1+2t}{3t^2} =-\frac13. \end{aligned}$$

所以

$$y=-x-\frac13.$$

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