2.4 导数相关的计算

2.4.1 脱帽法

脱帽法的基本原理如下：

\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^m}=k \Longleftrightarrow \text{在 0 点去心邻域内,\quad }f(x)=kx^m+o(x^m).

例 2.37　此题为例 1.15 的改编

对原极限通分，得

\lim_{x\to0}\frac{\sin x+xf(x)}{x^2}=2.

将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为 $\sin x = x + o(x^2)$ ，代入上式得

\lim_{x\to0}\frac{x + xf(x) + o(x^2)}{x^2} = 2,

即

\lim_{x\to0}\left[\frac{1+f(x)}{x} + \frac{o(x^2)}{x^2}\right] = 2.

因为 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0$ ，故

\lim_{x\to0}\frac{1+f(x)}{x}=2. \tag{1}

由极限四则运算法则，

\lim_{x\to0}[1+f(x)] = \lim_{x\to0}\left[\frac{1+f(x)}{x}\cdot x\right] = 2\cdot0 = 0,

从而

\lim_{x\to0}f(x) = -1.

又因函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以

f(0) = \lim_{x\to0}f(x) = -1.

由导数定义，结合（1）式及 $f(0)=-1$ ，得

f'(0) = \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to0}\frac{f(x)-(-1)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{1+f(x)}{x} = 2.

综上所述， $f(0)=-1,\ f'(0)=2$ 。

2.4.2 变限积分 + 导数计算

1. 变限积分的核心解题思路（两大条件反射）

见到变限积分函数 $\displaystyle\Phi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,\mathrm dt$ 时，通常优先联想以下两个切入点：

零点/初值特征（令上限等于下限）：当自变量取某特殊值 $x_0$ 使得 $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$ 时，积分值恒为 $0$ ，即
$\Phi(x_0)=\int_{\alpha(x_0)}^{\alpha(x_0)}f(t)\,\mathrm dt=0.$
常用于：确定隐函数初值、求待定常数、判断极限是否为 $\frac00$ 型未定式。
求导法则（微积分基本定理的推广）：利用变限积分求导公式消除积分号，转化为导数关系求解。

2. 变限积分求导公式（Leibniz 积分求导公式）

\Phi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,\mathrm dt

在相应区间内可导，且导数计算公式为：

\Phi'(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,\mathrm dt=f(\beta(x))\cdot\beta'(x)-f(\alpha(x))\cdot\alpha'(x).

【记忆口诀】：代入上限乘以上限的导数 $-$ 代入下限乘以下限的导数。

[!warning] 易错点警示（被积函数含参 $x$ ）若积分表达式为 $\displaystyle\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t)\,\mathrm dt$ （即被积函数内部含有求导变量 $x$ ），严禁直接套用上述公式！此时必须先通过拆项提项或**换元法（令 $u=g(x,t)$ ）**将变量 $x$ 提至积分号外，再应用乘积求导法则或复合求导法则求导。

第一步：求初值 $f(0)$ 在原方程中令 $x=0$ ，得：

0=\int_1^{y-0}\sin^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)\,\mathrm dt = \int_1^y\sin^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)\,\mathrm dt.

因为被积函数 $\sin^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)\ge0$ 且非恒为零，积分上限必等于下限，即 $y=1$ ，从而

f(0)=1.

第二步：将极限转化为导数定义 所求极限为数列极限，令 $x_n=\frac1n\to0\ (n\to\infty)$ ，由导数定义：

\lim_{n\to\infty}n\left[f\left(\frac1n\right)-1\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{f\left(\frac1n\right)-f(0)}{\frac1n} =f'(0).

第三步：隐函数求导求 $f'(0)$ 方程两端关于 $x$ 求导（注意积分上限为复合函数 $u(x)=y-x$ ，其对 $x$ 的导数为 $y'-1$ ）：

1=\sin^2\left(\frac{\pi(y-x)}{4}\right)\cdot(y-x)' =\sin^2\left(\frac{\pi(y-x)}{4}\right)\cdot(y'-1).

将 $x=0,\ y=1$ 代入上式，得：

1=\sin^2\left(\frac{\pi(1-0)}{4}\right)\cdot(y'(0)-1) =\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot(y'(0)-1) =\frac12(y'(0)-1).

解得：

y'(0)-1=2 \implies y'(0)=f'(0)=3.

因此所求极限为 $3$ 。

令中间变量 $u=y-x$ ，则原方程化为：

x=\int_1^u\sin^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)\,\mathrm dt.

当 $x=0$ 时， $y=1$ ，从而 $u=1$ 。

方程两端对 $x$ 求导：

1=\sin^2\left(\frac{\pi u}{4}\right)\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.

代入 $x=0,\ u=1$ 得：

1=\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot u'(0)=\frac12 u'(0)\implies u'(0)=2.

又因为 $u=y-x$ ，两端求导得 $u'=y'-1$ ，所以：

f'(0)=y'(0)=u'(0)+1=2+1=3.

在

\sin x-\int_x^y\varphi(u)\,\mathrm du=0

中，令 $x=0$ 得

\int_0^y\varphi(u)\,\mathrm du=0.

又 $\varphi(u)>0$ ，则 $y=0$ 。

等式

\sin x-\int_x^y\varphi(u)\,\mathrm du=0

两端关于 $x$ 求导得

\cos x-[\varphi(y)y'-\varphi(x)]=0. \tag{1}

将 $x=0,\ y=0$ 代入（1）式得

y'(0)=2.

等式（1）两端对 $x$ 求导得

-\sin x-[\varphi'(y)(y')^2+\varphi(y)y''-\varphi'(x)]=0.

将 $x=0,\ y=0,\ y'(0)=2$ 代入上式得

y''(0)=-3.

2.4.3 隐函数求导

例 2.40　基础三十讲

在

y^3+xy^2+x^2y+6=0

两边关于 $x$ 求导，得

3y^2y'+y^2+2xyy'+2xy+x^2y'=0.

由 $y'(1)=0$ ，得

y^2(1)+2\cdot1\cdot y(1)=0,

解得 $y(1)=-2$ 或 $y(1)=0$ （不满足题目所给方程，舍去）。

在

3y^2y'+y^2+2xyy'+2xy+x^2y'=0

两边关于 $x$ 求导，得

(3y^2+2xy+x^2)y'' +2(3y+x)(y')^2+4(y+x)y'+2y=0.

代入 $x=1,\ y(1)=-2,\ y'(1)=0$ ，解得

y''(1)=\frac49.

2.4.4 幂指函数求导

通法：做恒等变形

a^b=e^{b\ln a}.

例 2.41　基础三十讲

2.4.5 对 $\ln$ （一坨）进行求导，可用对数运算法则简化计算

初学者经常容易在一个地方犯错：例如求解 $\ln(kx)$ 的导数时，正常使用复合函数求导法则即可得其导数为

[\ln(kx)]' = \frac{(kx)'}{kx} = \frac{k}{kx}=\frac1x,

而很多初学者会忘记分子上的内层导数 $k$ ，从而得到错误结果 $\dfrac1{kx}$ 。

核心结论归纳：

$\ln(kx)$ 的导数是 $\dfrac1x$
$\ln(2x)$ 的导数也是 $\dfrac1x$
$\ln(-x)$ 的导数还是 $\dfrac1x$ （ $x<0$ 时， $[\ln(-x)]'=\dfrac{-1}{-x}=\dfrac1x$ ）
$\ln|x|$ 的导数也是 $\dfrac1x$ （ $x\ne0$ ）

实际上，当 $k>0$ 且 $x>0$ 时，也可从对数运算法则的角度化简理解：

\ln(kx)=\ln k+\ln x,

两边求导（常数项 $\ln k$ 的导数为 $0$ ），显然可得：

[\ln(kx)]' = (\ln k)' + (\ln x)' = 0 + \frac1x = \frac1x.

2.4.6 $n$ 项连乘求导

若函数为 $n$ 项因式连乘形式，求函数在某点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ ，且在该点处恰有某一个因式值为 $0$ （即 $f(x_0)=0$ ），通常来说处理手法有两种：

导数定义法：直接利用定义式 $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ，将等于 $0$ 的因式与分母结合求极限，其余非零因式直接代入极限值。
拆项求导法（令 $f(x)=g(x)h(x)$ ）：将值为 $0$ 的因式单独分离为 $g(x)$ （满足 $g(x_0)=0$ ），其余因式乘积设为 $h(x)$ 。由乘积求导法则： $f'(x_0)=g'(x_0)h(x_0)+\underbrace{g(x_0)}_{=0}h'(x_0)=g'(x_0)h(x_0).$

💡 【CHOICE】例 2.43

设函数
$f(x)=(e^x-1)(e^{2x}-2)\cdots(e^{nx}-n),$
其中 $n$ 为正整数，则 $f'(0)=$ （　　）

（A） $(-1)^{n-1}(n-1)!$ 　　（B） $(-1)^n(n-1)!$
（C） $(-1)^{n-1}n!$ 　　（D） $(-1)^n n!$

由 $f(0)=(e^0-1)(e^0-2)\cdots(e^0-n)=0$ ，由导数定义：

\begin{aligned} f'(0) &= \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ &= \lim_{x\to0}\frac{(e^x-1)(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)\cdots(e^{nx}-n)}{x} \\ &= \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\cdot\lim_{x\to0}\left[(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)\cdots(e^{nx}-n)\right] \\ &= 1\cdot(1-2)(1-3)\cdots(1-n) \\ &= (-1)(-2)\cdots[-(n-1)] \\ &= (-1)^{n-1}(n-1)!. \end{aligned}

令

g(x)=e^x-1\quad(\text{满足 } g(0)=0,\ g'(0)=1),

h(x)=(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)\cdots(e^{nx}-n).

则 $f(x)=g(x)h(x)$ ，两边关于 $x$ 求导得：

f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).

将 $x=0$ 代入上式（注意到 $g(0)=0$ ）：

\begin{aligned} f'(0) &= g'(0)h(0) + g(0)h'(0) \\ &= 1\cdot h(0) + 0 \\ &= 1\times(1-2)(1-3)\cdots(1-n) \\ &= 1\times(-1)(-2)\cdots[-(n-1)] \\ &= (-1)^{n-1}(n-1)!. \end{aligned}

综上，应选 A。

2.4.7 切线与法线

见到两个曲线相切，条件反射般想到：在切点处，函数值相同，且导数值也相同。

由于曲线 $y=x^2+ax+b$ 和 $2y=-1+xy^3$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，故曲线 $y=x^2+ax+b$ 过点 $(1,-1)$ 。于是

-1=1+a+b,

即

a+b=-2.

曲线 $y=x^2+ax+b$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线斜率为

(x^2+ax+b)'\big|_{x=1}=2+a.

对

2y=-1+xy^3

两端关于 $x$ 求导得

2y'=y^3+3xy^2y'.

将 $x=1,\ y=-1$ 代入该式可得

2y'(1)=-1+3y'(1),

于是

y'(1)=1.

由于两条曲线在切点处的切线相同，切线斜率相等，故

2+a=1.

因此 $a=-1$ ，再由 $a+b=-2$ 可得 $b=-1$ 。应选 D。

例 2.45　2001 数一真题。法线和切线的斜率互为负倒数。

手稿批注：设切点坐标为 $(x_0,y_0)$ ，则

y_0=ax_0,\qquad y_0=\ln x_0,\qquad a=\frac1{x_0}.

解得

x_0=e,\qquad y_0=1,\qquad a=\frac1e.

2.4.8 反函数求导

1. 一阶导数（互为倒数）

若 $x=\varphi(y)$ 在某区间内单调、可导，且 $\varphi'(y)\ne0$ ，则其反函数 $y=f(x)$ 在对应区间内也可导，且

f'(x)=\frac1{\varphi'(y)} \quad\text{或}\quad \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac1{\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}}.

2. 反函数二阶导数的两种推导方式

设原函数为 $y=f(x)$ ，其反函数为 $x=\varphi(y)$ （即自变量为 $y$ ，因变量为 $x$ ），目标求解 $\dfrac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}$ 或 $\varphi''(y)$ 。

方式一：Leibniz 记号与链式法则（微积分标准推导）

反函数的二阶导数即对一阶导数 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}$ 再关于自变量 $y$ 求导：

\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\left(\frac{1}{y'}\right).

关键一步（链式法则转换自变量）：因为 $\dfrac{1}{y'}$ 是关于 $x$ 的表达式，对 $y$ 求导必须利用 $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dy} = \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cdot\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}$ ：

\begin{aligned} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2} &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{1}{y'}\right)\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &= \left[-\frac{y''}{(y')^2}\right]\cdot\frac{1}{y'} \\ &= -\frac{y''}{(y')^3}. \end{aligned}

方式二：复合恒等式法（考场最不易出错的代数推导）

由原函数与反函数的恒等关系：

\varphi(f(x)) \equiv x.

两端关于 $x$ 求一阶导： $\varphi'(f(x))\cdot f'(x) = 1 \implies \varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}.$
两端继续关于 $x$ 求二阶导（应用乘积法则与复合链式法则）： $\big[\varphi'(f(x))\big]' \cdot f'(x) + \varphi'(f(x))\cdot f''(x) = 0,$ 展开得： $\varphi''(f(x))\cdot [f'(x)]^2 + \varphi'(f(x))\cdot f''(x) = 0.$ 将 $\varphi'(f(x)) = \dfrac{1}{f'(x)}$ 代入： $\varphi''(y)\cdot [f'(x)]^2 + \frac{f''(x)}{f'(x)} = 0 \implies \varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}.$

[!tip] 核心口诀与避坑警示

记忆口诀：“负号、原二阶、分母三次方”： $\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3} \qquad\text{或}\qquad \varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}.$

避坑一（漏乘链式项）：严禁直接按商求导写成 $-\dfrac{y''}{(y')^2}$ ，切记对 $y$ 求导必乘 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \dfrac{1}{y'}$ 。

避坑二（代点求值自变量匹配）：若求 $\varphi''(y_0)$ （如 $\varphi''(1)$ ），切勿将 $1$ 误代入 $x$ ；必须先根据 $y_0 = f(x_0)$ 反解出对应的 $x_0$ ，再计算 $f'(x_0)$ 与 $f''(x_0)$ 代入公式。

[!problem] 例 2.47　同例 1.127，此题非常重要，因此思维课进行二次选取。武忠祥高数辅导讲义，睁大你的眼睛看好， $\varphi()$ 括号里面是 $x$ 还是 $y$ !!!! 设 $y=f(x)$ 的反函数是 $x=\varphi(y)$ ，且

f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\,\mathrm dt+1,

则 $\varphi''(1)=\underline{\hspace{3em}}$ 。

由反函数求导法得

\varphi'(y)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} =\frac1{\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}} =\frac1{f'(x)}.

上式两端对 $y$ 求导得

\varphi''(y) =\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[\frac1{f'(x)}\right]\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} =-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^2}\cdot\frac1{f'(x)} =-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}.

由

f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\,\mathrm dt+1

知道，当 $y=1$ 时，

\int_1^{2x}e^{t^2}\,\mathrm dt=0,

所以 $x=\frac12$ 。

又

f'(x)=2e^{4x^2},\qquad f''(x)=16xe^{4x^2}.

当 $x=\frac12$ 时，

f'\left(\frac12\right)=2e,\qquad f''\left(\frac12\right)=8e.

因此

\varphi''(1) =-\frac{f''\left(\frac12\right)} {\left[f'\left(\frac12\right)\right]^3} =-\frac{8e}{(2e)^3} =-\frac1{e^2}.

2.4.9 参数方程求导（数三不要求）

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程

\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t) \end{cases}

确定，其中 $t$ 是参数，且 $\varphi(t),\psi(t)$ 均可导， $\varphi'(t)\ne0$ ，则

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt} =\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.

由参数方程所确定的函数的二阶导数：

\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{\mathrm d(\mathrm dy/\mathrm dx)}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm d(\mathrm dy/\mathrm dx)/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt} =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)} {[\varphi'(t)]^3}.

例 2.48　武忠祥高数讲义。涉及到参数方程求二阶导时，如果形式过于复杂，则优先考虑手推二阶导公式，之后直接代入公式计算即可。

本题最简单的方法是利用公式

\left.\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right|_{t=0} =\frac{y''(0)x'(0)-x''(0)y'(0)}{[x'(0)]^3}.

由 $x=3t^2+2t+3$ 知

x'=6t+2,\qquad x''=6,

则

x'(0)=2,\qquad x''(0)=6.

由

e^y\sin t-y+1=0

知 $y(0)=1$ ，且

e^y y'\sin t+e^y\cos t-y'=0.

再求一次导数：

(e^yy')\cos t+(e^yy')'\sin t+e^yy'\cos t-e^y\sin t-y''=0.

令 $t=0$ ，得

y'(0)=e,\qquad y''(0)=2e^2.

于是

\left.\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right|_{t=0} =\frac{2e^2\cdot2-6e}{2^3} =\frac{2e^2-3e}{4}.

考虑曲线以 $\theta$ 为参数的参数方程。

由

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

得

\begin{cases} x=(1-\cos\theta)\cos\theta=\cos\theta-\cos^2\theta,\\ y=(1-\cos\theta)\sin\theta=\sin\theta-\sin\theta\cos\theta. \end{cases}

根据由参数方程确定的函数的导数计算公式，

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm dy/\mathrm d\theta}{\mathrm dx/\mathrm d\theta} =\frac{\cos\theta-\cos^2\theta+\sin^2\theta} {-\sin\theta+2\cos\theta\sin\theta}.

当 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ 时，

\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=1,

且

x_0=\frac{\sqrt3}{2}-\frac34=\frac{2\sqrt3-3}{4}, \qquad y_0=\frac12-\frac{\sqrt3}{4}=\frac{2-\sqrt3}{4}.

所以曲线上对应于 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ 处的切线斜率为 $1$ ，法线斜率为 $-1$ 。

切线方程为

y-\frac{2-\sqrt3}{4} =x-\frac{2\sqrt3-3}{4},

即

y=x+\frac54-\frac{3\sqrt3}{4}.

法线方程为

y-\frac{2-\sqrt3}{4} =-x+\frac{2\sqrt3-3}{4},

即

y=-x-\frac14+\frac{\sqrt3}{4}.

当 $t\ge0$ 时，

\begin{cases} x=3t,\\ y=t\sin t, \end{cases}

因而

y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}.

当 $t<0$ 时，

\begin{cases} x=t,\\ y=-t\sin t, \end{cases}

因而 $y=-x\sin x$ 。

则

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{3}\sin\dfrac{x}{3},&x\ge0,\\[8pt] -x\sin x,&x<0. \end{cases}

由

f'_+(0)=\lim_{x\to0^+} \frac{\dfrac{x}{3}\sin\dfrac{x}{3}-0}{x}=0,

f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=0,

得

f'(0)=0.

f'(x)= \begin{cases} \dfrac13\sin\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{9}\cos\dfrac{x}{3},&x>0,\\[8pt] 0,&x=0,\\ -\sin x-x\cos x,&x<0. \end{cases}

由此可知 $f'(x)$ 连续。

又

f''_+(0) =\lim_{x\to0^+}\frac{\dfrac13\sin\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{9}\cos\dfrac{x}{3}}x =\frac29,

f''_-(0) =\lim_{x\to0^-}\frac{-\sin x-x\cos x}{x} =-2.

可知 $f''(0)$ 不存在，故应选（C）。

2.4.10 求 $n$ 阶导数

1. 莱布尼茨（Leibniz）求导法则（乘积的高阶导数）

设函数 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 均具有 $n$ 阶导数，则其乘积 $uv$ 的 $n$ 阶导数公式为：

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} = u^{(n)}v + \mathrm{C}_n^1 u^{(n-1)}v' + \mathrm{C}_n^2 u^{(n-2)}v'' + \cdots + \mathrm{C}_n^{n-1} u' v^{(n-1)} + uv^{(n)},

其中组合数

\mathrm{C}_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \qquad (u^{(0)}=u,\ v^{(0)}=v).

【核心技巧】：常用于计算多项式与超越函数的乘积（如 $x^2 e^{2x}$ 、 $x^2\ln(1+x)$ ）。由于多项式求导有限次后恒为 $0$ ，展开式中绝大多数项为 $0$ ，仅需保留非零项计算即可。

2. 常见基本初等函数的 $n$ 阶导数公式

① 分式幂函数 / 反比例型：

\left(\frac1{ax+b}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!\cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}} \qquad (ax+b \ne 0)

特例： $\displaystyle\left(\frac1x\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$ ， $\displaystyle\left(\frac1{1-x}\right)^{(n)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ 。

② 对数函数型：

[\ln(ax+b)]^{(n)} = \left(\frac{a}{ax+b}\right)^{(n-1)} = a\left(\frac1{ax+b}\right)^{(n-1)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot a^n}{(ax+b)^n} \qquad (ax+b > 0,\ n\ge 1)

特例： $\displaystyle[\ln(1+x)]^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ ， $\displaystyle(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ 。

③ 三角函数型（正弦与余弦）：

(\sin ax)^{(n)} = a^n \sin\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right), \qquad (\cos ax)^{(n)} = a^n \cos\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)

特例（ $a=1$ ）：

(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \qquad (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right).

④ 指数函数型：

(e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}, \qquad (a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n \quad (a>0,\ a\ne 1).

⑤ 幂函数型：

(x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} \quad (m\ge n \ge 1).

特例：当 $m=n$ 时 $(x^n)^{(n)} = n!$ ；当 $m < n$ 时 $(x^m)^{(n)} = 0$ 。

3. 公式 ①、② 的推导过程（归纳法推导）

对反比例型函数逐次求导：

\begin{aligned} [(ax+b)^{-1}]' &= (-1)\cdot(ax+b)^{-2}\cdot a, \\ [(ax+b)^{-1}]'' &= (-1)\cdot(-2)\cdot(ax+b)^{-3}\cdot a^2, \\ [(ax+b)^{-1}]''' &= (-1)(-2)(-3)(ax+b)^{-4}\cdot a^3, \\ &\ \ \vdots \\ [(ax+b)^{-1}]^{(n)} &= (-1)(-2)\cdots(-n)(ax+b)^{-(n+1)}\cdot a^n, \end{aligned}

即

\left(\frac1{ax+b}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!\cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}}.

对数函数求一阶导后即转化为反比例型：

[\ln(ax+b)]' = \frac{a}{ax+b} = a(ax+b)^{-1},

故对数函数的 $n$ 阶导数相当于对其一阶导数再求 $(n-1)$ 阶导数：

[\ln(ax+b)]^{(n)} = \left(\frac{a}{ax+b}\right)^{(n-1)} = a\cdot \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot a^{n-1}}{(ax+b)^n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot a^n}{(ax+b)^n}.

由此亦可反向印证记忆：对数函数求导即为分式幂函数的 $(n-1)$ 阶导。

题型一：因式分解 + 基本公式

将分母因式分解并拆为部分分式：

f(x)=\frac{x}{(2x-3)(x-2)}=\frac2{x-2}-\frac3{2x-3}.

由基本公式 $\displaystyle\left(\frac1{ax+b}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n n!\cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}}$ ，逐项求 $n$ 阶导数得：

\begin{aligned} f^{(n)}(x) &= \left(\frac2{x-2}\right)^{(n)} - \left(\frac3{2x-3}\right)^{(n)} \\ &= \frac{2(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} - \frac{3(-1)^n n!\cdot2^n}{(2x-3)^{n+1}} \\ &= (-1)^n n!\left[\frac2{(x-2)^{n+1}} - \frac{3\cdot2^n}{(2x-3)^{n+1}}\right]. \end{aligned}

将有理分式化简并拆为部分分式：

\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2-1+1}{1-x^2} = -1+\frac1{(1+x)(1-x)} \\ &= -1+\frac12\cdot\frac1{1-x}+\frac12\cdot\frac1{1+x}. \end{aligned}

当 $n\ge1$ 时，常数项 $-1$ 的 $n$ 阶导数为 $0$ 。由基本公式得：

\begin{aligned} f^{(n)}(x) &= \frac12\left(\frac1{1-x}\right)^{(n)} + \frac12\left(\frac1{1+x}\right)^{(n)} \\ &= \frac12\cdot\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} + \frac12\cdot\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}} \\ &= \frac{n!}{2}\left[\frac1{(1-x)^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{(1+x)^{n+1}}\right]. \end{aligned}

题型二：见到两个因式相乘，想到莱布尼茨求导法则和泰勒展开

由莱布尼茨公式：

(uv)^{(n)} = \mathrm{C}_n^0 uv^{(n)} + \mathrm{C}_n^1 u'v^{(n-1)} + \mathrm{C}_n^2 u''v^{(n-2)} + \cdots + \mathrm{C}_n^n u^{(n)}v.

令 $u=x^2,\ v=\ln(1+x)$ 。注意到 $u(0)=0,\ u'(0)=0,\ u''(0)=2$ ，且当 $k\ge 3$ 时 $u^{(k)}(x)\equiv 0$ 。因此在 $x=0$ 处，展开式中仅保留 $k=2$ 项非零：

\begin{aligned} f^{(n)}(0) &= \mathrm{C}_n^2 u''(0)\cdot [\ln(1+x)]^{(n-2)}\Big|_{x=0} \\ &= \frac{n(n-1)}{2}\cdot 2 \cdot \left.\frac{(-1)^{n-3}(n-3)!}{(1+x)^{n-2}}\right|_{x=0} \\ &= n(n-1)(-1)^{n-3}(n-3)! \\ &= (-1)^{n-3}\frac{n!}{n-2} = (-1)^{n-1}\frac{n!}{n-2}. \end{aligned}

由 $\ln(1+x)$ 的麦克劳林展开式：

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-3}}{n-2}x^{n-2} + \cdots,

两边同乘 $x^2$ ，得：

f(x) = x^3 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-3}}{n-2}x^n + \cdots.

对照标准展开式 $\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ ，比较 $x^n$ 项的系数：

\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n-3}}{n-2},

解得：

f^{(n)}(0) = (-1)^{n-3}\frac{n!}{n-2} = (-1)^{n-1}\frac{n!}{n-2}.

对 $x^3-1$ 进行因式分解：

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).

目标求在 $x=1$ 处的 $n$ 阶导数，分离出在 $x=1$ 处有根的因式 $(x-1)^n$ ：

f(x)=(x-1)^n\cdot \left[(x^2+x+1)^n\sin x\right].

令

u(x)=(x-1)^n,\qquad v(x)=(x^2+x+1)^n\sin x.

则在 $x=1$ 处：

u(1)=u'(1)=\cdots=u^{(n-1)}(1)=0,\qquad u^{(n)}(1)=n!.

由莱布尼茨求导法则，在 $x=1$ 处展开式中仅有 $k=n$ 项非零：

f^{(n)}(1)=\mathrm{C}_n^n u^{(n)}(1)v(1) =1\cdot n!\cdot (1^2+1+1)^n\sin1 =n!\cdot3^n\sin1.

题型三：非常规形式的求 $n$ 阶导

对 $f(x)$ 先求一阶导数：

f'(x)=\frac1{1+\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2}\cdot\frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac2{(1-x)^2+(1+x)^2}=\frac1{1+x^2}.

利用几何级数展开：

f'(x)=\frac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^n(x^2)^n+\cdots.

且

f^{(2n+1)}(x)=\left[f'(x)\right]^{(2n)}.

根据麦克劳林展开式中 $x^{2n}$ 的系数与导数的关系：

\frac{\left.\left[f'(x)\right]^{(2n)}\right|_{x=0}}{(2n)!} = (-1)^n \implies \left.\left[f'(x)\right]^{(2n)}\right|_{x=0}=(-1)^n(2n)!,

故

f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n(2n)!.

虽然条件中仅给出了 $f(x)$ 的连续性，但由

f(x)=(x+1)^2+2\int_0^xf(t)\,\mathrm dt

知， $f(x)$ 可导。由于

f'(x)=2(x+1)+2f(x),

故 $f'(x)$ 也可导，从而可推出 $f(x)$ 为 $n$ 阶可导函数（ $n$ 为任意正整数）。

f'(x)=2(x+1)+2f(x),

f''(x)=2+2f'(x),

f^{(3)}(x)=2f''(x),

f^{(4)}(x)=\left[f^{(3)}(x)\right]' =\left[2f''(x)\right]' =2f^{(3)}(x)=2^2f''(x),

\cdots

由数学归纳法可知

f^{(n)}(x)=2^{n-2}f''(x),\qquad n\ge2.

当 $x=0$ 时，

f(0)=1,\qquad f'(0)=2+2f(0)=4,\qquad f''(0)=2+2f'(0)=10.

因此

f^{(n)}(0)=2^{n-2}\cdot10=5\cdot2^{n-1},\qquad n\ge2.

当 $x=0$ 时，由已知等式易得 $f(0)=1$ 。

对已知等式两端关于 $x$ 求导，得

f'(x)=2(x+1)+2f(x),

即

f'(x)-2f(x)=2(x+1).

这是一个一阶非齐次线性微分方程。

由求解公式，得

\begin{aligned} f(x) &=Ce^{\int2\,\mathrm dx} +e^{\int2\,\mathrm dx}\int e^{-\int2\,\mathrm dx}\cdot2(x+1)\,\mathrm dx\\ &=Ce^{2x}+e^{2x}\int e^{-2x}\cdot2(x+1)\,\mathrm dx\\ &=Ce^{2x}-x-\frac32. \end{aligned}

代入 $f(0)=1$ ，得 $C=\dfrac52$ 。因此

f(x)=\frac52e^{2x}-x-\frac32.

对 $f(x)$ 逐次求导，得

f^{(n)}(x)=\frac52\cdot2^n e^{2x},\qquad n\ge2.

代入 $x=0$ ，得

f^{(n)}(0)=5\cdot2^{n-1},\qquad n\ge2.

将函数拆为两项：

f(x)=xe^{x^2}\sin x+e^x\sin x=g(x)+h(x),

其中 $g(x)=xe^{x^2}\sin x$ 。因为 $x$ 为奇函数， $\sin x$ 为奇函数， $e^{x^2}$ 为偶函数，所以 $g(x)$ 为偶函数。偶函数的任意奇数阶导数在 $x=0$ 处恒为 $0$ ，故：

g^{(2023)}(0)=0.

对于 $h(x)=e^x\sin x$ ，利用逐次求导观察规律：

\begin{aligned} h'(x) &= e^x\sin x + e^x\cos x = \sqrt2 e^x\sin\left(x+\frac\pi4\right), \\ h''(x) &= (\sqrt2)^2 e^x\sin\left(x+2\cdot\frac\pi4\right) = 2e^x\cos x, \\ &\ \ \vdots \\ h^{(n)}(x) &= (\sqrt2)^n e^x\sin\left(x+\frac{n\pi}{4}\right). \end{aligned}

当 $n=2023$ 时：

\begin{aligned} h^{(2023)}(0) &= (\sqrt2)^{2023}\sin\left(\frac{2023\pi}{4}\right) \\ &= 2^{1011}\cdot\sqrt2\cdot\sin\left(505\pi+\frac{3\pi}{4}\right) \\ &= 2^{1011}\cdot\sqrt2\cdot\left(-\sin\frac{3\pi}{4}\right) \\ &= 2^{1011}\cdot\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) \\ &= -2^{1011}. \end{aligned}

因此：

f^{(2023)}(0)=g^{(2023)}(0)+h^{(2023)}(0)=0-2^{1011}=-2^{1011}.

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ギターと孤独と蒼い惑星

2.4 导数相关的计算

2.4 导数相关的计算

2.4.1 脱帽法

2.4.2 变限积分 + 导数计算

2.4.3 隐函数求导

2.4.4 幂指函数求导

2.4.5 对 $\ln$ （一坨）进行求导，可用对数运算法则简化计算

2.4.6 $n$ 项连乘求导

2.4.7 切线与法线

2.4.8 反函数求导

2.4.9 参数方程求导（数三不要求）

2.4.10 求 $n$ 阶导数

题型一：因式分解 + 基本公式

题型二：见到两个因式相乘，想到莱布尼茨求导法则和泰勒展开

题型三：非常规形式的求 $n$ 阶导

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2.4 导数相关的计算

2.4.1 脱帽法

2.4.2 变限积分 + 导数计算

2.4.3 隐函数求导

2.4.4 幂指函数求导

2.4.5 对 ln⁡\lnln（一坨）进行求导，可用对数运算法则简化计算

2.4.6 nnn 项连乘求导

2.4.7 切线与法线

2.4.8 反函数求导

2.4.9 参数方程求导（数三不要求）

2.4.10 求 nnn 阶导数

题型一：因式分解 + 基本公式

题型二：见到两个因式相乘，想到莱布尼茨求导法则和泰勒展开

题型三：非常规形式的求 nnn 阶导

2.4.5 对 $\ln$ （一坨）进行求导，可用对数运算法则简化计算

2.4.6 $n$ 项连乘求导

2.4.10 求 $n$ 阶导数

题型三：非常规形式的求 $n$ 阶导