2.3 单调性、凹凸性、极值点、拐点

上一节：2.2 可导性的判断 · 总目录 · 笔记整理索引 · 下一节：2.4 导数相关的计算

2.3.1 单调性与极值点相关知识点

关于相关基础知识点，我们引用《基础三十讲》的部分内容，会对其中一些重点内容进行批注和说明。

1 单调性的判别

若任意 $x\in(a,b)$，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加，即 $x_1<x_2$ 时，$f(x_1)<f(x_2)$。

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。

①如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\ge0$，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加；

②如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\le0$，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减少。

💡 【笔记】 注

导数为 0 仅能说明在某点处的函数值变化充分小，而不能说明没变化，即导数大于 0 一定严格单调增加，而严格单调增加不一定是导数大于 0。

例如，函数 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且可导，且函数 $y'=3x^2\ge0$，等号仅在 $x=0$ 处成立，则函数 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加。

2 一阶可导点是极值点的必要条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，且在点 $x_0$ 处取得极值，则必有 $f'(x_0)=0$。

💡 【笔记】 注 1

事实上，若 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的极值点，则只有以下两种情况：

（1）$f'(x_0)=0$，如 $y=x^2$ 在 $(0,0)$ 处的情形，如图 5-1(a) 所示；

（2）$f'(x_0)$ 不存在，如 $y=|x|$ 在 $(0,0)$ 处的情形，如图 5-1(b) 所示。

💡 【笔记】 注 2

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$$

仅能说明在 $x\to x_0$ 时，$f(x)-f(x_0)$ 为 $x-x_0$ 的高阶无穷小，不能说明 $f(x)=f(x_0)$，即当 $f'(x_0)=0$ 时，$f(x)$ 仍然可能是单调的，所以 $f'(x_0)=0$ 仅为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极值的必要条件。

找极值时的两种情况：①驻点；②不可导点。

3 判别极值的第一充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta)(\delta>0)$ 内可导。

①若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$f'(x)<0$，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值；

②若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$f'(x)>0$，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值；

③若 $f'(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta)$ 内不变号，则点 $x_0$ 不是极值点。

💡 【笔记】 注

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不一定可导，可能出现角点。

4 判别极值的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\ne0$。

①若 $f''(x_0)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；

②若 $f''(x_0)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

借助保号性推导：

设

$$f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}>0,$$

由保号性可知：

（1）当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$x-x_0<0$，从而 $f'(x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域单调递减；

（2）当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$x-x_0>0$，从而 $f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域单调递增。

所以 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值。

同理，当 $f''(x_0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值。

上述第二充分条件可以推广为第三充分条件。

5 判别极值的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且

$$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0\quad(n\ge2),$$

则

①当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；

②当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

手稿批注： 若

$$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\quad f^{(n)}(x_0)\ne0,$$

若 $n$ 为偶数——极值；

$$f^{(n)}(x_0)<0\Longrightarrow\text{极大值},\qquad f^{(n)}(x_0)>0\Longrightarrow\text{极小值}.$$

若 $n$ 为奇数——拐点。

2.3.2 凹凸性与拐点相关知识点

1 凹凸性的定义

《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》规定如下：

定义 1　设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意不同两点 $x_1,x_2$，恒有

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的（或凹弧）；如果恒有

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的（或凸弧）。

💡 【笔记】 注（琴生不等式 / 凸组合形式）

事实上，当图形为**凹（凹弧）**时，可以将中点形式

$$f\left(\frac12x_1+\frac12x_2\right) < \frac12f(x_1)+\frac12f(x_2)$$

更一般地推广为任意加权组合形式：

$$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2) < \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2),$$

其中 $0<\lambda_1<1,\ 0<\lambda_2<1,\ \lambda_1+\lambda_2=1$。

同理，当图形为**凸（凸弧）**时，更一般地有：

$$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2) > \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2).$$

定义 2　设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，若对 $(a,b)$ 内的任意 $x$ 及 $x_0(x\ne x_0)$，均有

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \underset{(>)}{<} f(x),\tag{*}$$

则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的（凸的）。

💡 【笔记】 （几何意义）

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程，因此 (*) 式的几何意义如图 5-3 所示。若曲线 $y=f(x)(a<x<b)$ 在任意点处的切线（除该点外）总在曲线的下方（上方），则该曲线是凹（凸）的。

2 拐点的定义

连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

①间断点不可能为拐点；

②形如也称为有拐点；

③==极值点只写横坐标 $x=x_0$，拐点应写 $(x_0,f(x_0))$。==

3 凹凸性与拐点的判别

1 判别凹凸性

设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导。

①若在 $I$ 上 $f''(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；

②若在 $I$ 上 $f''(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的。

2 二阶可导是拐点的必要条件

设 $f''(x_0)$ 存在，且点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点，则 $f''(x_0)=0$。

💡 【笔记】 注

事实上，若点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点，则只有以下两种情况：

（1）$f''(x_0)=0$，如 $y=x^3$ 在 $(0,0)$ 处的情形，如图 5-4(a) 所示；

（2）$f''(x_0)$ 不存在，如 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $(0,0)$ 处的情形，如图 5-4(b) 所示。

3 判别拐点的第一充分条件

设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，在点 $x=x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta)$ 内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域内 $f''(x)$ 变号（无论是由正变负，还是由负变正），则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

💡 【笔记】 注

$(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点，并不要$f(x)$在点$x_0$的导数存在，如 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 的情形，如图 5-5 所示，其中

$$y'=\frac13x^{-2/3},\qquad y''=-\frac29x^{-5/3}.$$

当 $x>0$ 时，$y''<0$；当 $x<0$ 时，$y''>0$，故点 $(0,0)$ 为曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ 的拐点，但在该点的导数不存在。

4 判别拐点的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内三阶可导，且

$$f''(x_0)=0,\qquad f'''(x_0)\ne0,$$

则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

💡 【笔记】 注

上述第二充分条件的证明如下：由于

$$f'''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)}{x-x_0}\ne0,$$

不妨设 $f'''(x_0)>0$。由保号性可知：

①当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$x-x_0<0$，所以 $f''(x)<0$，即曲线在 $x_0$ 的左邻域为凸的；

②当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$x-x_0>0$，所以 $f''(x)>0$，即曲线在 $x_0$ 的右邻域为凹的。

因此 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

5 判别拐点的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且

$$f^{(m)}(x_0)=0\quad(m=2,\cdots,n-1),\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0\quad(n\ge3),$$

则当 $n$ 为奇数时，点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

手稿批注： 用特殊例子记忆极值/拐点的第三充分条件： 若

$$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\quad f^{(n)}(x_0)\ne0,$$

若 $n$ 为偶数——极值（举 $n=2$ 的特殊例子记忆，$f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\ne0$，极值）；

$$f^{(n)}(x_0)<0\Longrightarrow\text{极大值},\qquad f^{(n)}(x_0)>0\Longrightarrow\text{极小值}.$$

若 $n$ 为奇数——拐点（举 $n=3$ 的特殊例子记忆，$f''(x_0)=0,\ f'''(x_0)\ne0$，拐点）。

一个点可以既是极值点，又是拐点，但此时一定是“带尖”的情况。如：有些时候拐点一定是可导点；因此若 $f(x)$ 在某一点处可导，则该点不可能既是极值点又是拐点。

2.3.3 秒杀！$x$ 的多项式的极值点拐点

此方法常用于多项式函数 $f(x)=(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}\cdots(x-x_m)^{k_m}$ 零点、驻点、极值点、拐点的快速秒杀（即王谱老师总结的“沉鱼落雁，闭月羞花”模型）。

1. 核心定理：重根与导数的关系（求导降重法则）

设 $x_0$ 是方程 $f(x)=0$ 的 $n$ 重根（$n\in\mathbb{N}^+$），即

$$f(x)=(x-x_0)^n g(x),\qquad g(x_0)\ne0.$$

若 $g(x)$ 具有 $n$ 阶连续导数，则：

1. 导数充要特征： $$f(x_0)=f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0.$$
2. 重数规律（求一次导，重数减一）：
   • 当 $n=1$ 时（单根），$f'(x_0)\ne0$，即 $x_0$ 不是导方程 $f'(x)=0$ 的根（单根不是驻点）；
   • 当 $n\ge2$ 时（重根），$x_0$ 是 $f'(x)=0$ 的 $n-1$ 重根。
   • 依此类推，$x_0$ 是 $f^{(k)}(x)=0$ 的 $n-k$ 重根（$k\le n-1$），且 $x_0$ 不是 $f^{(n)}(x)=0$ 的根。

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2. “沉鱼落雁，闭月羞花”秒杀口诀与判断法则

对应关系：沉鱼（零点）$\to$ 落雁（驻点）$\to$ 闭月（极值点）$\to$ 羞花（拐点）。

概念	口诀代称	数学定义	重数与变号判断法则（核心秒杀规律）
零点	沉鱼	$f(x)=0$ 的实根	观察各因式 $(x-x_i)^{k_i}$，每个不同的 $x_i$ 均为一个零点，总重数 $\sum k_i$。
驻点	落雁	$f'(x)=0$ 的实根	① 降重根：每个 $k_i\ge 2$ 的零点贡献 $k_i-1$ 重驻点； ② 穿插根（罗尔定理）：$m$ 个不同零点之间穿插产生 $m-1$ 个单重驻点。
极值点	闭月	$f'(x)$ 穿轴变号的点（即 $f'(x)=0$ 的奇数重根）	① 原偶数重根：$k_i$ 为偶数 $\xrightarrow{\text{求导}}$ $f'(x)$ 的奇数重根 $\implies$ 是极值点； ② 原奇数重根：$k_i$ 为奇数 $\xrightarrow{\text{求导}}$ $f'(x)$ 的偶数重根（或非根） $\implies$ 不是极值点； ③ 穿插驻点：所有罗尔定理产生的单根驻点（奇数重） $\implies$ 全是极值点。
拐点	羞花	$f''(x)$ 穿轴变号的点（即 $f''(x)=0$ 的奇数重根）	① 原奇数重根（$k_i\ge 3$）：$k_i$ 为奇数 $\xrightarrow{\text{求导两次}}$ $f''(x)$ 的奇数重根 $\implies$ $(x_i, 0)$ 是拐点； ② 原偶数重根：$k_i$ 为偶数 $\xrightarrow{\text{求导两次}}$ $f''(x)$ 的偶数重根（或非根） $\implies$ 不是拐点； ③ 穿插拐点：导函数驻点之间由罗尔定理穿插产生的单根 $\implies$ 全是拐点。

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💡 【PROBLEM】 2011 数一真题

（1）曲线

$$y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$$

的拐点是（　　）

（A）$(1,0)$　　（B）$(2,0)$

（C）$(3,0)$　　（D）$(4,0)$

【秒杀分析】 寻找 $x$ 轴上的拐点即找 $f(x)=0$ 的奇数重根且重数 $k\ge 3$。只有因式 $(x-3)^3$ 中 $k=3$ 满足条件，故拐点为 $(3,0)$，直接选 C。

💡 【结论】 答案

（C）。

💡 【PROBLEM】 例 2.27　改编自 2011 年数一真题

求多项式函数

$$f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$$

的零点、驻点、极值点、拐点个数。

💡 【SOLUTION】 解（口诀法秒杀）

1. 零点（沉鱼）： 共有 $4$ 个不同零点：$x=1,2,3,4$（重数分别为 $1,2,3,4$，总重数为 $10$）。

2. 驻点（落雁）：

• 降重驻点：$x=2$（1重）、$x=3$（2重）、$x=4$（3重），共 $3$ 个不同驻点（贡献 $1+2+3=6$ 个重数）；
• 穿插驻点：$4$ 个不同零点之间由罗尔定理穿插产生 $4-1=3$ 个单重驻点；
• 驻点总个数（不同实根）为 $3+3=6$ 个（总重数 $6+3=9$）。

3. 极值点（闭月）： 只有导数奇数重根才变号：

• 原函数偶数重根：$x=2$（求导后为 1 重，变号）、$x=4$（求导后为 3 重，变号），共 $2$ 个极值点；
• 穿插驻点：$3$ 个穿插驻点均为 1 重（变号），共 $3$ 个极值点；
• 极值点总个数为 $2+3=5$ 个。

4. 拐点（羞花）： 只有二阶导奇数重根才变号：

• 原函数奇数重根（$\ge 3$）：$x=3$（求导两次后为 1 重，变号），对应拐点 $(3,0)$，共 $1$ 个；
• 穿插拐点：导函数 $f'(x)$ 有 $6$ 个不同实根，在相邻驻点之间穿插产生 $6-1=5$ 个二阶导单根（变号），共 $5$ 个拐点；
• 拐点总个数为 $1+5=6$ 个。

2.3.4 图像 + 极值点拐点

💡 【PROBLEM】 例 2.28　李林 880，此题为早年真题改编

设 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且其导函数 $f'(x)$ 的图形如图 2-3 所示，其中 $x=0$ 和 $x=x_5$ 是 $f'(x)$ 的铅直渐近线，则 $y=f(x)$ 极值点的个数为____，拐点的个数为____。

手稿批注： 若 $f(x)$ 可导，判断极值点是全域内 $f'(x)$ 变号的点；极值点可以是不可导点。 若 $f(x)$ 二阶可导，判断拐点是全域内 $f''(x)$ 变号的点；拐点可以是不可导点，即 $f'(x)$ 在铅直渐近线发生变化。

答案：极值点 4 个，拐点 3 个。

2.3.5 极限表达式 + 极值点拐点

处理手法：参考 1.1.14 小节中的题型二：极限的保号性与定性分析。

💡 【PROBLEM】 例 2.29　改编自武忠祥高数辅导讲义

设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且

$$f'(0)=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{x}=-1,$$

则（　　）

（A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

（B）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

（C）$(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

（D）$f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

💡 【结论】 答案

C。

手稿批注：

$$f'(0)=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{f''(x)}x=-1 \Longrightarrow \lim_{x\to0}f''(x)=0 \Longrightarrow f''(0)=0.$$

又

$$f''(0)=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}x =\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}x=-1,$$

故在 $x=0$ 两侧 $f''(x)$ 变号，$(0,f(0))$ 为拐点。

💡 【PROBLEM】 例 2.30　武忠祥高数辅导讲义“注”

设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且

$$f'(0)=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{f''(x)+f(x)-f(-x)}{|x|}=1,$$

则（　　）

（A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

（B）$f''(0)>0$，$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

（C）$(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

（D）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极值，但 $(0,f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

💡 【结论】 答案

D。

手稿批注： 由

$$\lim_{x\to0}\frac{f''(x)+f(x)-f(-x)}{|x|}=1$$

且 $f$ 有二阶连续导数，得 $f''(0)=0$；又可由极限的保号性知

$$\frac{f''(x)}{|x|}>0$$

在去心邻域内成立，即 $f''(x)>0$，所以 $f'(x)$ 在 $0$ 左侧递减、右侧递增；结合 $f'(0)=0$，得 $x=0$ 为极值点。选 D。

💡 【PROBLEM】 例 2.31　武忠祥高数辅导讲义

设函数 $f(x)$ 有二阶导数，且

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-a}{\ln(1+x)}=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{f''(x)-1}{e^{x^2}-1}=2021,$$

则（　　）

（A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

（B）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

（C）$(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

（D）$f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

💡 【结论】 答案

B。

💡 【ANALYSIS】 严谨推导与手稿批注

第一步：求 $f(0)$ 与 $f'(0)$ 由已知条件 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-a}{\ln(1+x)}=0$，且分母 $\ln(1+x)\sim x\to 0$，由极限存在性可知分子必趋于 0：

$$\lim_{x\to0}\big(f(x)-a\big)=0 \implies \lim_{x\to0}f(x)=a.$$

因为 $f(x)$ 二阶可导必连续，所以 $f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=a$。 进而根据导数定义：

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\left[\frac{f(x)-a}{\ln(1+x)}\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}\right]=0\cdot 1=0.$$

第二步：利用【导数极限定理】求 $f''(0)$ 观察第二个极限：

$$\lim_{x\to0}\frac{f''(x)-1}{e^{x^2}-1}=2021.$$

由于分母 $e^{x^2}-1\sim x^2\to 0$，故分子极限必须为 0，即：

$$\lim_{x\to0}\big(f''(x)-1\big)=0 \implies \lim_{x\to0}f''(x)=1.$$

因为函数 $f(x)$ 具有二阶导数（即 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且在去心邻域内可导），且极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}f''(x)=1$ 存在，直接由 2.1.3 导数极限定理 可得：

$$f''(0)=\lim_{x\to0}f''(x)=1>0.$$

第三步：极值判定 由 $f'(0)=0$ 且 $f''(0)=1>0$，根据一元函数极值的第二充分条件可知，$f(0)$ 是 $f(x)$ 的严格极小值。 故正确答案选 (B)。

💡 【PROBLEM】 例 2.32

设函数 $f(x)$ 具有四阶连续的导数，且

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^4}=1,$$

则（　　）

A. 点 $(0,0)$ 为曲线 $y=f'(x)$ 的拐点，点 $x=0$ 为 $f''(x)$ 的极小值点

B. 点 $(0,0)$ 为曲线 $y=f'(x)$ 的拐点，点 $x=0$ 为 $f''(x)$ 的极大值点

C. 点 $(0,0)$ 为曲线 $y=f''(x)$ 的拐点，点 $x=0$ 为 $f'(x)$ 的极小值点

D. 点 $(0,0)$ 为曲线 $y=f''(x)$ 的拐点，点 $x=0$ 为 $f'(x)$ 的极大值点

💡 【结论】 答案

A。

手稿批注： 方法一：举特殊例，令 $f(x)=x^4$。 方法二：Taylor 展开

$$\lim_{x\to0} \frac{f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+ \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+o(x^4)} {x^4}=1.$$

所以

$$f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0,\qquad \frac{f^{(4)}(0)}{4!}=1,$$

即 $f^{(4)}(0)=24$。 令 $g(x)=f'(x)$，则

$$g'(0)=f''(0)=0,\qquad g''(0)=f'''(0)=0,\qquad g'''(0)=f^{(4)}(0)=24>0,$$

所以 $(0,0)$ 是曲线 $y=f'(x)$ 的拐点。 令 $h(x)=f''(x)$，则

$$h'(0)=f'''(0)=0,\qquad h''(0)=f^{(4)}(0)=24>0,$$

所以 $x=0$ 是 $f''(x)$ 的极小值点。

2.3.6 微分方程 + 极值点拐点

处理手法：和 1.1.12 小节题型三中的处理方法相同，这种题目通常只是披了个微分方程的外皮，我们基本上不需要求解微分方程，直接通过方程来判断各阶导数的信息即可！

💡 【PROBLEM】 例 2.33　2000 考研真题

设函数 $f(x)$ 满足关系式

$$f''(x)+[f'(x)]^2=x,$$

且 $f'(0)=0$，则（　　）

（A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

（B）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

（C）点 $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

（D）$f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，点 $(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

💡 【结论】 答案

C。

手稿批注： 代入 $x=0$，得

$$f''(0)+[f'(0)]^2=0\Longrightarrow f''(0)=0.$$

原式两边求导，得

$$f'''(x)+2f'(x)f''(x)=1.$$

代入 $x=0$，得

$$f'''(0)=1\ne0,$$

所以 $(0,f(0))$ 为拐点。

💡 【PROBLEM】 例 2.34　2023 张宇

设 $f(x)$ 满足微分方程

$$f''(x)+xf'(x)=\ln(1+x)-\frac{\arctan x}{x+1},$$

且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$，则（　　）

A. $x_0$ 不是极值点。

B. $x_0$ 是极大值点。

C. $x_0$ 是极小值点。

D. $x_0$ 是否是极值点无法判断。

手稿批注： 令

$$g(x)=\ln(1+x)-\frac{\arctan x}{x+1},\qquad g(0)=0.$$ $$g'(x)=\frac1{1+x} -\frac{\dfrac{x+1}{1+x^2}-\arctan x}{(x+1)^2} =\frac{x^2+x+(x+1)^2\arctan x}{(x+1)^2(1+x^2)}>0 \quad(x>0).$$

所以 $g(x)>g(0)=0$，从而

$$f''(x_0)=g(x_0)>0$$

（因为 $f'(x_0)=0$），故 $x_0$ 为极小值点，选 C。

2.3.7 隐函数 + 极值点拐点

💡 【PROBLEM】 例 2.35　2023 数三真题，实际难度不大，处理思想和前面的题目一样，就是判断各阶导数的信息。

已知可导函数 $y=y(x)$ 满足

$$ae^x+y^2+y-\ln(1+x)\cos y+b=0,$$

且

$$y(0)=0,\qquad y'(0)=0.$$

（Ⅰ）求 $a,b$ 的值；

（Ⅱ）判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点。

💡 【ANALYSIS】 分析

本题主要考查一元隐函数求导以及一元函数的极值判定。

$y(x)$ 是由题设方程确定的隐函数，已知其在 $x=0$ 处的值以及一阶导数，可以通过隐函数求导并代值求解方程中的未知参数 $a,b$。

由 $y'(0)=0$ 可知 $x=0$ 为 $y(x)$ 的驻点，要判断其是否为极值点，可以继续利用隐函数求导得到 $y''(0)$，再利用一元函数极值的第二充分条件判断。

💡 【SOLUTION】 解

（Ⅰ）将 $y(0)=0$ 代入

$$ae^x+y^2+y-\ln(1+x)\cos y+b=0$$

中可得

$$a+b=0.$$

对方程

$$ae^x+y^2+y-\ln(1+x)\cos y+b=0$$

两端关于 $x$ 求导，可得

$$ae^x+2yy'+y' -\frac{\cos y}{1+x} +\ln(1+x)y'\sin y=0. \tag{1}$$

将 $y(0)=0,\ y'(0)=0$ 代入（1）式，可得

$$a-1=0.$$

联立可得

$$a=1,\qquad b=-1.$$

（Ⅱ）由 $y'(0)=0$ 可知 $x=0$ 为 $y(x)$ 的驻点。如果能确定 $y''(0)$ 的符号，那么就能利用一元函数极值的第二充分条件判断 $x=0$ 是否为极值点。

将 $a=1$ 代入（1）式，可得

$$e^x+2yy'+y' -\frac{\cos y}{1+x} +\ln(1+x)y'\sin y=0. \tag{2}$$

对（2）式两端关于 $x$ 求导，可得

$$e^x+2(y')^2+2yy''+y'' +\frac{\cos y}{(1+x)^2} +\frac{2y'\sin y}{1+x} +\ln(1+x)y''\sin y +\ln(1+x)(y')^2\cos y=0. \tag{3}$$

将 $y(0)=0,\ y'(0)=0$ 代入（3）式可得

$$y''(0)+2=0.$$

于是

$$y''(0)=-2<0.$$

由一元函数极值的第二充分条件可知，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点。

2.3.8 几何意义 + 凹凸性

凹凸性的定义，还可以从弦、函数、切线的位置关系去定义。

💡 【PROBLEM】 例 2.36　2014 数一、二、三真题

设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，

$$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$$

则在区间 $[0,1]$ 上（　　）

（A）当 $f'(x)\ge0$ 时，$f(x)\ge g(x)$；

（B）当 $f'(x)\ge0$ 时，$f(x)\le g(x)$；

（C）当 $f''(x)\ge0$ 时，$f(x)\ge g(x)$；

（D）当 $f''(x)\ge0$ 时，$f(x)\le g(x)$。

💡 【SOLUTION】 解

由于

$$g(x)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}x+f(0),\qquad g(0)=f(0),\qquad g(1)=f(1),$$

故 $y=g(x)$ 表示的曲线是过点 $(0,f(0))$、$(1,f(1))$ 的弦。

由分析知，若 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上凹，则 $f(x)\le g(x)$；若 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上凸，则 $f(x)\ge g(x)$。由于 $f(x)$ 具有 2 阶导数，故曲线的凹凸性可以由 $f''(x)$ 确定。当 $f''(x)\ge0$ 时，$y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上凹，从而 $f(x)\le g(x)$。应选 D。

一阶导数的符号与曲线的凹凸性没有直接关系。作为选项 A 的反例，可以考虑曲线 $y=x^2$；作为选项 B 的反例，可以考虑曲线 $y=\sqrt{x}$。

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