2.12 导数的物理应用（数三不要求）

上一节：2.11 曲率和曲率圆（数三不要求） · 总目录 · 笔记整理索引

💡 【核心纲领】 相关变化率（Related Rates）核心方法与三步秒杀套路

【核心认知】：所谓“某物理量 $X$ 随时间的变化率（或速率）”，在微积分中即为其对时间 $t$ 的一阶导数 $\dfrac{\mathrm dX}{\mathrm dt}$。 【解题关键】：不求具体运动方程，只抓几何约束等式；两端对时间 $t$ 复合求导建立变化率之间的关联，最后一步代入特定时刻的瞬时值。

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相关变化率“三步秒杀法”：

flowchart LR A[“第 1 步：翻译微积分符号
(速率 = 对时间 t 的导数)”] —> B[“第 2 步：找几何公式搭桥
(建立静态约束等式 F(x,y)=0)”] B —> C[“第 3 步：两端对 t 链式求导
(隐函数求导，代入瞬时值)”]

> 
> 1. **第 1 步：符号化翻译（微积分语言）**
>    - 看到题干中的“速率 / 变化速度”，立即写出导数记号：
>      - 某量增加 $\implies \dfrac{\mathrm d(\text{某量})}{\mathrm dt} > 0$；某量减少 $\implies \dfrac{\mathrm d(\text{某量})}{\mathrm dt} < 0$。
> 2. **第 2 步：几何公式搭桥（建立静态约束）**
>    - 根据题意画出示意图，寻找题中各变量间的初中几何/物理公式（如勾股定理、相似比、面积体积、距离公式等），建立**不含时间 $t$ 的纯几何约束等式** $F(x,y,z)=0$。
> 3. **第 3 步：两端对时间 $t$ 链式求导（动态关联与代值）**
>    - 将各变量均视作关于时间 $t$ 的复合函数，等式两边**同时关于 $t$ 求导**（注意应用链式求导与乘积求导法则，切勿漏乘 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$ 等内层导数）；
>    - 将特定时刻的**瞬时几何量**及已知变化率代入导数等式中，解出目标变化率。
> 
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> 
> ### 常见几何与物理场景速查表：
> 
> | 题目场景 | 几何约束等式（搭桥） | 对时间 $t$ 链式求导的关系式 | 典型例题 |
> | :--- | :--- | :--- | :--- |
> | **矩形对角线** | $s^2 = l^2 + w^2$ | $s\dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt} = l\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt} + w\dfrac{\mathrm dw}{\mathrm dt}$ | 例 2.99 |
> | **曲线上动点距离** | $l^2 = x^2 + y^2 = x^2 + [f(x)]^2$ | $l\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt} = \big[x + f(x)f'(x)\big]\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$ | 例 2.100 |
> | **立体图形体积/表面积** | $V = \pi r^2 h,\ S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ | $\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = 2\pi rh\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt} + \pi r^2\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}$ | 例 2.101 |
> | **梯子沿墙下滑** | $x^2 + y^2 = L^2$（梯长 $L$ 恒定） | $x\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + y\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt} = 0$ | 经典模型 |
> 
> > [!warning] 核心避坑警示
> > - **“先求导后代值”原则**：严禁在第一步求导前就把静态数值（如 $l=12, w=5$）代入方程，否则常数求导后直接变为 0 导致整个模型崩溃！
> > - **减少/缩小速率的负号**：若某量随时间减少（如圆柱高以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 缩小），变化率必须带负号 $\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = -3\ \mathrm{cm/s}$。

> 💡 **【PROBLEM】 例 2.99　2010 数二真题**
>
> 已知一个长方形的长 $l$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速率增加，宽 $w$ 以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速率增加，则当 $l=12\ \mathrm{cm}$，$w=5\ \mathrm{cm}$ 时，它的对角线增加的速率为 $\underline{\hspace{3em}}$。

> 💡 **【结论】 答案**
>
> 应填 **$3\ \mathrm{cm/s}$**。

> 💡 **【ANALYSIS】 分析**
>
> 本题主要考查链式法则的应用。解题关键是建立对角线与长、宽之间的函数关系。

> 💡 **【SOLUTION】 解**
>
> 设对角线长为 $s(t)$，由勾股定理：
> $$
> s^2(t)=l^2(t)+w^2(t).
> $$
> 等式两端同时关于时间 $t$ 链式求导，得：
> $$
> 2s\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=2l\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}+2w\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt} \implies s\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=l\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}+w\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt}.\tag{1}
> $$
> 当 $l=12\ \mathrm{cm}$，$w=5\ \mathrm{cm}$ 时，瞬时对角线长度 $s=\sqrt{12^2+5^2}\ \mathrm{cm}=13\ \mathrm{cm}$。
> 将 $\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=2,\ \dfrac{\mathrm dw}{\mathrm dt}=3$ 代入（1）式得：
> $$
> 13\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=12\times2+5\times3 = 39.
> $$
> 因此
> $$
> \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=3\ \mathrm{cm/s}.
> $$

> 💡 **【PROBLEM】 例 2.100　2016 数二真题**
>
> 已知动点 $P$ 在曲线 $y=x^3$ 上运动，记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$。若点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_0$，则当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时，$l$ 对时间的变化率为 $\underline{\hspace{3em}}$。

> 💡 **【结论】 答案**
>
> 应填 **$2\sqrt2v_0$**。

> 💡 **【ANALYSIS】 分析**
>
> 本题主要考查导数与变化率的概念。
>
> 距离 $l$ 是关于坐标 $x$ 的函数，而 $x$ 随时间变化（即 $x$ 是关于时间 $t$ 的函数），从而 $l$ 也是关于 $t$ 的复合函数。因此可用链式法则直接计算。

> 💡 **【SOLUTION】 解**
>
> 设点 $P$ 的坐标为 $(x,x^3)$，由两点间距离公式：
> $$
> l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6}.
> $$
> 点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为
> $$
> \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=v_0.
> $$
> 记 $l$ 对时间的变化率为 $\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}$。由链式求导法则得：
> $$
> \frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}
> =\frac{\mathrm dl}{\mathrm dx}\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}
> =\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0
> =\frac{x+3x^5}{\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0.\tag{1}
> $$
> 当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时，对应 $x=1$。代入（1）式得：
> $$
> \left.\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}\right|_{x=1}
> =\frac{1+3}{\sqrt{1+1}}v_0
> =\frac4{\sqrt2}v_0
> =2\sqrt2v_0.
> $$

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> 💡 **【PROBLEM】 例 2.101　2021 数二真题**
>
> 有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速度分别为 $2\ \mathrm{cm/s}$、$-3\ \mathrm{cm/s}$，当底面半径为 $10\ \mathrm{cm}$、高 $5\ \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速度分别为（　　）
>
> （A）$125\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$
>
> （B）$125\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$-40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$
>
> （C）$-100\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$
>
> （D）$-100\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$-40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$

> 💡 **【结论】 答案**
>
> 应选 **C**。

> 💡 **【SOLUTION】 解**
>
> 设圆柱体的底面半径为 $r(t)$，高为 $h(t)$，则：
> - 圆柱体的体积为：
>   $$
>   V(t)=\pi r^2(t)h(t),\quad 
>   $$
> - 圆柱体的全表面积为：
>   $$
>   S(t)=2\pi r(t)h(t)+2\pi r^2(t).
>   $$
> 
> 两边同时对时间 $t$ 链式求导（乘积求导法则）：
> $$
> \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}
> =2\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\cdot h + \pi r^2\cdot\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}
> =2\pi rh\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}+\pi r^2\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt},\quad 
> $$
> $$
> \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}
> =2\pi\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\cdot h + r\cdot\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}\right) + 4\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}
> =(2\pi h+4\pi r)\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}+2\pi r\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}.
> $$
> 
> 代入已知瞬时数据：$r=10\ \mathrm{cm}$，$h=5\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=2\ \mathrm{cm/s}$，$\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}=-3\ \mathrm{cm/s}$：
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}
> &=2\pi\times10\times5\times2+\pi\times10^2\times(-3)\\
> &=200\pi-300\pi=-100\pi\ \mathrm{cm^3/s},\quad 
> \end{aligned}
> $$
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}
> &=(2\pi\times5+4\pi\times10)\times2+2\pi\times10\times(-3)\\
> &=50\pi\times2-60\pi\\
> &=100\pi-60\pi=40\pi\ \mathrm{cm^2/s}.
> \end{aligned}
> $$
> 
> 综上所述，应选 **C**。