2.11 曲率和曲率圆（数三不要求）

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2.11.1 曲率和曲率半径

和“成功率、胜率、及格率”等词语一样，所谓曲（qu一声）率，指的是曲线的弯曲程度。曲率越大，弯曲程度就越大。

💡 【笔记】 公式

1．曲率的定义

曲率的定义：

$$K=\lim_{\Delta s\to0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|.$$

2．曲率的计算

（1）若曲线由直角坐标方程$y=y(x)$给出，则

$$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}.$$

（2）若曲线由参数方程

$$\left\{ \begin{aligned} x&=x(t)\\ y&=y(t) \end{aligned} \right.$$

给出，则

$$K=\frac{|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}}.$$

3．曲率圆与曲率半径

曲率半径

$$R=\frac1K.$$

例 2.93

💡 【PROBLEM】 例 2.93

曲线$y=\ln x$在点$P$处的曲率半径最小，则该最小半径是________。

💡 【SOLUTION】 解

设$P(x,\ln x)$，$x>0$，曲率半径

$$R=\frac{[1+(y')^2]^{\frac32}}{|y''|} =\frac{(1+x^2)^{\frac32}}x,\quad x>0.$$

令

$$R'=\frac{\sqrt{1+x^2}(2x^2-1)}{x^2}=0,\quad$$

得唯一驻点$x=\dfrac{\sqrt2}{2}$。于是$y=\ln x$在

$$\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\ln2}{2}\right)$$

的曲率半径最小，此最小曲率半径

$$R=\frac{3\sqrt3}{2}.$$

例 2.94 2016 数二真题，曲率越大，弯曲程度越大！

💡 【PROBLEM】 例 2.94

设函数$f_i(x)$（$i=1,2$）具有二阶连续导数，且$f_i''(x_0)<0$（$i=1,2$）。若两条曲线$y=f_i(x)$（$i=1,2$）在点$(x_0,y_0)$处具有公共切线$y=g(x)$，且在该点处曲线$y=f_1(x)$的曲率大于曲线$y=f_2(x)$的曲率，则在$x_0$的某个邻域内，有（　　）

（A）$f_1(x)\le f_2(x)\le g(x)$。

（B）$f_2(x)\le f_1(x)\le g(x)$。

（C）$f_1(x)\le g(x)\le f_2(x)$。

（D）$f_2(x)\le g(x)\le f_1(x)$。

💡 【SOLUTION】 解

曲率越大，弯曲程度越大。由于$f_i''(x_0)<0$，两条曲线在切点附近均为凹曲线，且$f_1$的曲率大于$f_2$的曲率，所以$f_1$比$f_2$弯曲得更厉害。又两条曲线在$(x_0,y_0)$处有公共切线$g(x)$，故在$x_0$的某个邻域内

$$g(x)\ge f_2(x)\ge f_1(x).$$

应选A。

例 2.95 2019 数二真题

💡 【PROBLEM】 例 2.95

已知$f(x)$、$g(x)$二阶可导且2阶导函数在$x=a$处连续，且

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0,\quad$$

是曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$在$x=a$对应的点处相切且曲率相等的（　　）

（A）充分非必要条件。

（B）充分必要条件。

（C）必要非充分条件。

（D）既非充分又非必要条件。

💡 【SOLUTION】 答案

A。

💡 【ANALYSIS】 分析

本题主要考查导数的应用。

两条曲线相切，能推出两曲线在切点处的切线斜率相等，即对应的函数在切点横坐标处导数相等。切点处曲率相等说明两条曲线在该点处的弯曲程度相等，从而由曲率计算公式

$$K=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac32}}$$

可知切点处对应的二阶导数绝对值相等，但是并不能说明二阶导数相等。在分析充分性与必要性的时候，要注意这一点。

💡 【SOLUTION】 证明

由$f(x)$、$g(x)$在$x=a$处的二阶泰勒公式可得

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2),\quad$$ $$g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2).$$

代入

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}$$

可得

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2} =\lim_{x\to a} \frac{[f(a)-g(a)]+[f'(a)-g'(a)](x-a) +\frac{f''(a)-g''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2)} {(x-a)^2}. \end{aligned}$$

由上式可知，极限为0当且仅当

$$f(a)=g(a),\quad \qquad f'(a)=g'(a),\quad \qquad f''(a)=g''(a).$$

曲线$y=f(x)$与$y=g(x)$在$x=a$对应的点处相切当且仅当

$$f(a)=g(a),\quad \qquad f'(a)=g'(a).$$

又由曲率计算公式以及$f''(a)=g''(a)$可得两条曲线在$x=a$对应的点处曲率相等。因此，极限为0是曲线相切且曲率相等的充分条件。

注意到两曲线在$x=a$对应的点处曲率相等只能说明

$$|f''(a)|=|g''(a)|,\quad$$

但并不能推出$f''(a)=g''(a)$，故极限为0不是必要条件。

例如：取

$$f(x)=1-\sqrt{1-x^2},\qquad g(x)=-1+\sqrt{1-x^2},\quad$$

$y=f(x)$、$y=g(x)$这两条曲线均为半径为1的半圆弧（圆弧上各点的曲率半径均为1）。于是，各点处曲率相等，均等于1。如图所示，这两条曲线在原点处相切，但$y=f(x)$在$[-1,1]$上是凹曲线，$y=g(x)$在$[-1,1]$上是凸曲线，$f''(0)\ne g''(0)$。

2.11.2 曲率圆

曲线$y=f(x)$在某点的曲率圆与曲线在该点具有相同的切线和曲率，并且在该点附近具有相同的凹凸性。在实际问题中，常用曲率圆在点$M$附近的一段圆弧来近似代替曲线弧，使问题简化。由此出发，我们可以讨论函数$f(x)$的性质。

例 2.96 2009 数二真题

💡 【PROBLEM】 例 2.96

若$f''(x)$不变号，且曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$处的曲率为$x^2+y^2=2$，则函数$f(x)$在区间$(1,2)$内（　　）

（A）有极值点，无零点。

（B）无极值点，有零点。

（C）有极值点，有零点。

（D）无极值点，无零点。

💡 【SOLUTION】 解

曲线$x^2+y^2=2$在点$(1,1)$附近可作为曲线$y=f(x)$的近似曲线。由

$$x^2+y^2=2$$

两边对$x$求导，得

$$2x+2yy'=0.$$

代入$x=1$，$y=1$，得

$$y'(1)=-1,\quad$$

即$f'(1)=-1$。再求导：

$$2+2(y')^2+2yy''=0.$$

代入$x=1$，$y=1$，$y'=-1$，得

$$y''(1)=-2,\quad$$

即$f''(1)=-2$。

因$f''(x)$不变号，故$f''(x)<0$，从而$f'(x)$单调减少。对$x\in(1,2)$，有$f'(x)<f'(1)=-1<0$，所以$f(x)$无极值点。

又$f(1)=1$，由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(1,2)$，使

$$f(2)-f(1)=f'(\xi)(2-1)<-1,\quad$$

即$f(2)<0$。由于$f(1)>0$，且$f(x)$连续，所以$f(x)$在$(1,2)$内有零点。应选B。

例 2.97 李永乐复习全书

确定曲率圆方程需要圆心坐标和半径。

💡 【PROBLEM】 例 2.97

设曲线由参数方程

$$\left\{ \begin{aligned} x&=\ln(1+t),\quad \\ y&=2t+\int_0^t\ln(1+u^2)\,du \end{aligned} \right.$$

所确定，求上述$t=0$对应的点$(0,0)$处的曲率圆的方程。

💡 【SOLUTION】 解

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{2+\ln(1+t^2)}{1/(1+t)} =(1+t)\bigl[2+\ln(1+t^2)\bigr],\quad$$

所以$t=0$时

$$y'=2.$$

又

$$y''=\frac{d(y')/dt}{dx/dt} =\frac{2+\ln(1+t^2)+(1+t)\dfrac{2t}{1+t^2}}{1/(1+t)},\quad$$

所以$t=0$时

$$y''=2.$$

因此

$$K=\frac2{(1+2^2)^{\frac32}}=\frac2{5\sqrt5},\quad \qquad R=\frac1K=\frac{5\sqrt5}{2}.$$

切线斜率为2，法线斜率为$-\dfrac12$。设曲率中心为$(x_0,y_0)$，则

$$y_0=-\frac12x_0,\quad$$

且曲率中心到$(0,0)$的距离为$R$。在曲线的凹侧取曲率中心

$$C=\left(-5,\frac52\right).$$

所以曲率圆为

$$\boxed{(x+5)^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{125}{4}}.$$

例 2.98 2024 数二真题

💡 【PROBLEM】 例 2.98

曲线

$$y^2=x$$

在点$(0,0)$处的曲率圆方程为________。

💡 【SOLUTION】 解

弦：直角坐标不方便$\Rightarrow$参数方程。想三：“换”，先交换$x$和$y$，再换回来。

先写成

$$x=y^2,\quad$$

令$x=t^2$，$y=t$，则$(0,0)$对应$t=0$，有

$$x'=2t,\qquad y'=1,\qquad x''=2,\qquad y''=0.$$

于是

$$K=\frac{|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}} =\frac2{(4t^2+1)^{\frac32}}.$$

代入$t=0$，得$K=2$，所以

$$R=\frac1K=\frac12.$$

曲率中心在$x$轴上，且

$$\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14.$$

因而曲率圆方程为

$$\boxed{\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14}.$$