数列与函数值数列的敛散性关系

💡 【核心纲领】 本文要点

研究 $\{x_n\}$ 与 $\{f(x_n)\}$ 之间的敛散性传递关系。核心判据是 “一个 $y$ 是否对应一个 $x$” 与 区间是否有界、函数是否连续。本文给出四条结论及 2022、2017 两年数二真题的完整应用。

一、问题背景

在考研数学范围内，函数 $y=f(x)$ 的约定是：一个自变量 $x$ 只能对应唯一的 $y$，即不会出现”一个 $x$ 对应两个 $y$“的情形。但反过来，一个 $y$ 可以对应多个 $x$ 是常见现象，例如

$$f(x)=x^2,\qquad f(1)=f(-1)=1.$$

我们要问：已知 $\{f(x_n)\}$ 或 $\{x_n\}$ 之一收敛，能否推出另一个也收敛？答案取决于 $f$ 的连续性、区间是否有界，以及 $f$ 是否为一一对应（即一个 $y$ 只对应一个 $x$）。

二、四条核心结论

结论①：$x_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $f(x_n)$ 收敛

💡 【THEOREM】 结论①

若函数 $f(x)$ 连续，且数列 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{f(x_n)\}$ 必收敛，且

$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f\!\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right).$$

这是连续函数保极限性的直接推论，属于基本结论，无需证明。

💡 【避坑警示】 前提不可少

结论①成立必须满足 $f(x)$ 连续。若 $f$ 不连续，则 $\{x_n\}$ 收敛不能保证 $\{f(x_n)\}$ 收敛。

💡 【反例与辨析】 反例

取

$$x_n=\frac{(-1)^n}{n},\qquad f(x)=\begin{cases}x,&x\le 0,\\ x+1,&x>0.\end{cases}$$

显然 $x_n\to 0$，但 $x_n$ 的奇数项为负、偶数项为正，于是

$$f(x_n)=\begin{cases}\dfrac{-1}{n},&n\text{ 为奇数},\\ \dfrac{1}{n}+1,&n\text{ 为偶数}.\end{cases}$$

因此 $\{f(x_n)\}$ 在 $0$ 与 $1$ 附近震荡，极限不存在。

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结论②：有限区间 + 连续 + 一一对应 $\Rightarrow$ $f(x_n)$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $x_n$ 收敛

💡 【THEOREM】 结论②

已知函数 $f(x)$ 连续，数列 $\{x_n\}$ 落在有限区间内，且 $f(x)$ 在该区间上满足 一个 $y$ 对应一个 $x$（即严格单调），则

$$\{f(x_n)\}\text{ 收敛}\quad\Longleftrightarrow\quad\{x_n\}\text{ 收敛}.$$

💡 【技巧与方法】 直观理解

有限区间保证 $x_n$ 不会”跑向无穷”；一一对应保证不会出现”$f(x_n)$ 稳定在同一个值，而 $x_n$ 在两个点之间震荡”的情况；连续性则把 $f$ 的收敛信息完整传递回 $x_n$。

💡 【避坑警示】 两个条件都不能随便去掉

• 若去掉 连续性，结论不成立（反例较复杂，了解即可）。
• 若去掉 有限区间，结论也不成立。典型反例是 $f(x)=\arctan x$：它在整个 $\mathbb{R}$ 上连续且一一对应，但当 $x_n\to+\infty$ 时，$\arctan x_n\to\dfrac{\pi}{2}$，即 $\{f(x_n)\}$ 收敛而 $\{x_n\}$ 发散。

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结论③：无限区间 + 连续 + 一一对应 + $x\to\infty$ 时 $f(x)\to\infty$ $\Rightarrow$ $f(x_n)$ 收敛 $\Rightarrow$ $x_n$ 收敛

💡 【THEOREM】 结论③

已知函数 $f(x)$ 连续，数列 $\{x_n\}$ 落在无限区间内（区间长度无穷），$f(x)$ 在该区间上满足 一个 $y$ 对应一个 $x$，且当 $x\to\infty$ 时 $f(x)\to\infty$，则

$$\{f(x_n)\}\text{ 收敛}\quad\Longrightarrow\quad\{x_n\}\text{ 收敛}.$$

💡 【技巧与方法】 记忆方法

结论③的证明无需掌握。记住它正是为了 排除 $\arctan x$ 这类反例：$\arctan x$ 虽然连续且一一对应，但当 $x\to\infty$ 时它趋于有限值 $\dfrac{\pi}{2}$ 而不是无穷，因此不能保证逆推收敛。若补上 ”$x\to\infty$ 时 $f(x)\to\infty$” 这一条件，$\arctan x$ 就被排除，结论成立。

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结论④：一个 $y$ 对应多个 $x$ 时，$f(x_n)$ 收敛推不出 $x_n$ 收敛

💡 【THEOREM】 结论④

无论区间有限还是无限，无论 $f(x)$ 是否连续，只要 $f(x)$ 存在 一个 $y$ 对应多个 $x$ 的情况，则

$$\{f(x_n)\}\text{ 收敛}\quad\xcancel{\Longrightarrow}\quad\{x_n\}\text{ 收敛}.$$

💡 【反例与辨析】 反例

仍取 $f(x)=x^2$。若 $f(x_n)\to 1$，则 $x_n$ 可以在 $1$ 与 $-1$ 之间来回震荡，例如

$$x_n=(-1)^n,$$

此时 $f(x_n)\equiv 1$ 收敛，但 $\{x_n\}$ 发散。

三、真题演练

例 1.77（2022 年数二真题）

💡 【PROBLEM】 原题

设数列 $\{x_n\}$ 满足 $-\dfrac{\pi}{2}\le x_n\le\dfrac{\pi}{2}$，则下列选项正确的是（　）

（A）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos(\sin x_n)$ 存在时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在。

（B）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin(\cos x_n)$ 存在时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在。

（C）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos(\sin x_n)$ 存在时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin x_n$ 存在，但 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ 不一定存在。

（D）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin(\cos x_n)$ 存在时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos x_n$ 存在，但 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ 不一定存在。

解答

令 $t_n=\sin x_n$，则 $t_n\in[-1,1]$。外层函数 $\cos t$ 在 $[-1,1]$ 上不是一一对应（例如 $\cos t_1=\cos t_2$ 当 $t_1=-t_2$ 时），因此

$$\cos(\sin x_n)\text{ 收敛}\quad\xcancel{\Longrightarrow}\quad\sin x_n\text{ 收敛},$$

更推不出 $x_n$ 收敛。故（A）、（C）错误。

令 $u_n=\cos x_n$，则 $u_n\in[0,1]$。外层函数 $\sin u$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递增，且 $u_n$ 落在有限区间 $[0,1]$ 内，$\sin u$ 连续。由结论②，

$$\sin(\cos x_n)\text{ 收敛}\quad\Longrightarrow\quad\cos x_n\text{ 收敛}.$$

但 $\cos x$ 本身不是一一对应（例如 $\cos x_1=\cos x_2$ 当 $x_1=-x_2$ 时），因此

$$\cos x_n\text{ 收敛}\quad\xcancel{\Longrightarrow}\quad x_n\text{ 收敛}.$$

例如可取 $x_n=(-1)^n\arccos a$（$a\in(0,1)$），则 $\cos x_n\equiv a$ 收敛，但 $x_n$ 在 $\pm\arccos a$ 之间震荡。

💡 【结论】 答案

D

💡 【技巧与方法】 本题技巧

• 先看内层函数把 $x_n$ 映射到什么区间；
• 再看外层函数在该区间上是否一一对应；
• 最后判断是否能从外层收敛反推内层收敛，以及是否能从内层收敛反推 $x_n$ 收敛。

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例 1.78（2017 年数二真题）

💡 【PROBLEM】 原题

设数列 $\{x_n\}$ 收敛，则下列说法正确的是（　）

（A）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin x_n=0$ 时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$。

（B）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl(x_n+\sqrt{|x_n|}\bigr)=0$ 时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$。

（C）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n+x_n^2)=0$ 时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$。

（D）当 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n+\sin x_n)=0$ 时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$。

解答

• （A）错误：$\sin x=0$ 对应无穷多个 $x$（$x=k\pi$）。取

  $$x_n=\begin{cases}0,&n\text{ 为奇数},\\ \pi,&n\text{ 为偶数},\end{cases}$$

  则 $\sin x_n\equiv 0$，但 $x_n$ 不收敛。

• （B）错误：取 $x_n=-1$，则 $x_n+\sqrt{|x_n|}=-1+1=0$，显然 $x_n\not\to 0$。

• （C）错误：取 $x_n=-1$，则 $x_n+x_n^2=-1+1=0$，同样 $x_n\not\to 0$。

• （D）正确：设 $f(x)=x+\sin x$，则

  $$f'(x)=1+\cos x\ge 0,$$

  且 $f'(x)=0$ 仅在孤立点 $x=(2k+1)\pi$ 处成立，因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，即一个 $y$ 只对应一个 $x$。又 $f(x)$ 连续，且题设 $\{x_n\}$ 收敛（故必有界），由结论②可得

  $$f(x_n)\to 0\quad\Longrightarrow\quad x_n\to 0.$$

💡 【结论】 答案

D

💡 【技巧与方法】 本题技巧

本题的本质仍是判断”$y=0$ 是否只对应唯一的 $x$”：

• $\sin x$、$x+\sqrt{|x|}$、$x+x^2$ 在 $y=0$ 处都对应多个 $x$；
• 只有 $x+\sin x$ 严格单调，$y=0$ 唯一对应 $x=0$。

四、一句话总结

💡 【SUMMARY】 判断口诀

已知 $\{f(x_n)\}$ 收敛，判断能否推出 $\{x_n\}$ 收敛：

$$\boxed{\text{先看 }f\text{ 是否一一对应;\quad 再看区间有限还是无穷;\quad 最后检查 }f\text{ 是否连续.}}$$

情形	关键条件	结论
$x_n$ 收敛	$f$ 连续	$f(x_n)$ 收敛
$f(x_n)$ 收敛	有限区间 + $f$ 连续 + 一一对应	$x_n$ 收敛
$f(x_n)$ 收敛	无穷区间 + $f$ 连续 + 一一对应 + $x\to\infty$ 时 $f(x)\to\infty$	$x_n$ 收敛
$f(x_n)$ 收敛	$f$ 一个 $y$ 对应多个 $x$	推不出 $x_n$ 收敛