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816 控制理论攻坚

8.6.1 系统的能控性分解

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8.6.1 系统的能控性分解

一、能控性分解的基本原理与定义

💡 【定义与概念】 能控性分解问题背景

考虑连续线性定常系统：

{x˙=Ax+Buy=Cx\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}

其中 x∈Rnx \in \mathbb{R}^n 为状态向量，u∈Rmu \in \mathbb{R}^m 为控制输入，y∈Rpy \in \mathbb{R}^p 为输出向量。 若系统状态不完全能控，即能控性判别矩阵：

M=Qc=[BABA2B⋯An−1B]∈Rn×nmM = Q_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times nm}

的秩满足：

rank⁡M=n1<n\operatorname{rank} M = n_1 < n

这表明状态空间 Rn\mathbb{R}^n 包含了维数为 n1n_1 的能控子空间 Σc\Sigma_c 和维数为 n−n1n - n_1 的不能控子空间 Σcˉ\Sigma_{\bar{c}}。

💡 【THEOREM】 能控性规范分解定理

条件： 设线性定常系统 (A,B,C)(A, B, C) 不完全能控，且 rank⁡M=n1<n\operatorname{rank} M = n_1 < n。
结论： 必存在非奇异坐标变换矩阵 Rc∈Rn×nR_c \in \mathbb{R}^{n \times n}，令 x=Rcx^x = R_c \hat{x}，将原系统变换为具有明显能控与不能控子块的能控性规范型：

{x^˙=A^x^+B^uy=C^x^\begin{cases} \dot{\hat{x}} = \hat{A}\hat{x} + \hat{B}u \\ y = \hat{C}\hat{x} \end{cases}

其中变换后的系统矩阵具有如下分块上三角特征：

A^=Rc−1ARc=[A^11A^120A^22],B^=Rc−1B=[B^10],C^=CRc=[C^1C^2]\hat{A} = R_c^{-1} A R_c = \begin{bmatrix} \hat{A}_{11} & \hat{A}_{12} \\ 0 & \hat{A}_{22} \end{bmatrix}, \quad \hat{B} = R_c^{-1} B = \begin{bmatrix} \hat{B}_1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{C} = C R_c = \begin{bmatrix} \hat{C}_1 & \hat{C}_2 \end{bmatrix}

各子矩阵的物理意义与维度：

  • A^11∈Rn1×n1\hat{A}_{11} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_1}，B^1∈Rn1×m\hat{B}_1 \in \mathbb{R}^{n_1 \times m}，子系统对 (A^11,B^1)(\hat{A}_{11}, \hat{B}_1) 完全能控；
  • A^22∈R(n−n1)×(n−n1)\hat{A}_{22} \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times (n-n_1)} 为不能控子系统的系统矩阵；
  • A^12∈Rn1×(n−n1)\hat{A}_{12} \in \mathbb{R}^{n_1 \times (n-n_1)} 为不能控子系统对能控子系统的耦合矩阵；
  • 左下角零矩阵 0∈R(n−n1)×n10 \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times n_1} 与 B^\hat{B} 的下部零矩阵 0∈R(n−n1)×m0 \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times m} 保证了控制输入 uu 无法影响不能控状态。

💡 【核心公式】 分解后的子系统方程

将变换后的状态向量按能控与不能控划分为 x^=[x^1x^2]=[xcxcˉ]\hat{x} = \begin{bmatrix} \hat{x}_1 \\ \hat{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_c \\ x_{\bar{c}} \end{bmatrix}（其中 x^1∈Rn1\hat{x}_1 \in \mathbb{R}^{n_1} 为能控状态，x^2∈Rn−n1\hat{x}_2 \in \mathbb{R}^{n - n_1} 为不能控状态）：

  1. 能控子系统（Controllable Subsystem）： {x^˙1=A^11x^1+B^1u+A^12x^2y^1=C^1x^1\begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \hat{A}_{11}\hat{x}_1 + \hat{B}_1 u + \hat{A}_{12}\hat{x}_2 \\ \hat{y}_1 = \hat{C}_1 \hat{x}_1 \end{cases}
  2. 不能控子系统（Uncontrollable Subsystem）： {x^˙2=A^22x^2y^2=C^2x^2\begin{cases} \dot{\hat{x}}_2 = \hat{A}_{22}\hat{x}_2 \\ \hat{y}_2 = \hat{C}_2 \hat{x}_2 \end{cases}
  3. 系统总输出： y=y^1+y^2=C^1x^1+C^2x^2y = \hat{y}_1 + \hat{y}_2 = \hat{C}_1 \hat{x}_1 + \hat{C}_2 \hat{x}_2

二、变换矩阵 RcR_c 的构造步骤与核心方法

💡 【METHOD】 能控性分解变换矩阵 RcR_c 的构造法

  1. 第一步：计算能控性矩阵并确定秩
    计算能控性判别矩阵 M=[BAB⋯An−1B]M = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}，通过初等行变换求出矩阵的秩 n1=rank⁡Mn_1 = \operatorname{rank} M。
  2. 第二步：选取前 n1n_1 个列向量
    从判别矩阵 MM 的列向量中，选取 n1n_1 个线性无关的列向量，按原顺序排列作为变换矩阵 RcR_c 的前 n1n_1 列，记为： R1,R2,…,Rn1R_1, R_2, \dots, R_{n_1}
  3. 第三步：补充后 n−n1n - n_1 个列向量
    任意选取 n−n1n - n_1 个与前 n1n_1 列线性无关的列向量 Rn1+1,…,RnR_{n_1+1}, \dots, R_n，构成非奇异方阵 RcR_c： Rc=[R1R2⋯Rn1∣Rn1+1⋯Rn]∈Rn×n,det⁡(Rc)≠0R_c = \begin{bmatrix} R_1 & R_2 & \cdots & R_{n_1} & \Big| & R_{n_1+1} & \cdots & R_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad \det(R_c) \neq 0
  4. 第四步：求逆并完成相似变换
    计算逆矩阵 Rc−1R_c^{-1}，按坐标变换公式求得规范型矩阵： A^=Rc−1ARc,B^=Rc−1B,C^=CRc\hat{A} = R_c^{-1} A R_c, \quad \hat{B} = R_c^{-1} B, \quad \hat{C} = C R_c

💡 【技巧与方法】 构造变换矩阵的提速与验算技巧

  • 补充向量的优选规则： 补充列向量 Rn1+1,…,RnR_{n_1+1}, \dots, R_n 建议优先在标准自然坐标基（例如 [100]T\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}^T、[010]T\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}^T、[001]T\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}^T）中寻找与前 n1n_1 列线性无关的向量，可最大程度简化求逆矩阵 Rc−1R_c^{-1} 的手工计算量。
  • 结构特征验算： 完成相似变换后，必须检验：
    1. B^\hat{B} 的后 n−n1n - n_1 行是否全部为零；
    2. A^\hat{A} 的左下角 (n−n1)×n1(n - n_1) \times n_1 子块是否全部为零。 若不满足，必存在计算错误或列向量排列顺序颠倒。

💡 【PITFALL】 易错陷阱

  • 列向量排列次序绝对不可颠倒： 属于能控子空间的 n1n_1 个极大无关列必须放在变换矩阵 RcR_c 的前 n1n_1 列。若误放于后 n−n1n - n_1 列，则得到的系统矩阵 A^\hat{A} 会变成下三角型，B^\hat{B} 的前几行为零，与标准规范型定义相反。

三、能控性分解系统结构框图

通过能控性分解后，系统内部信号流向与子系统间的相互耦合机理如下图所示：

能控性分解结构框图.png

结构框图机理解析

  1. 控制输入流向： 外部控制信号 u(t)u(t) 经输入通道 B~1\tilde{B}_1 直接且仅能作用于能控子系统的积分通道，不能控部分不存在任何直接输入激励通道。
  2. 状态单向影响： 不能控状态 x~2(t)\tilde{x}_2(t) 经交叉耦合矩阵 A~12\tilde{A}_{12} 单向流入能控状态求和点，即不能控状态会作为外生扰动影响能控状态的演化；反之，能控状态 x~1(t)\tilde{x}_1(t) 对不能控状态没有任何反作用通路（因为左下角为零子块）。
  3. 输出合成机制： 系统的最终输出 y(t)y(t) 是由能控子系统输出 C~1x~1(t)\tilde{C}_1\tilde{x}_1(t) 与不能控子系统输出 C~2x~2(t)\tilde{C}_2\tilde{x}_2(t) 在输出端线性叠加合成。

四、典型例题全解

💡 【PROBLEM】 例题 1（讲义 P214 原题）

试将下列连续定常系统按能控性进行分解：

x˙=[00−110−301−3]x+[110]u,y=[01−2]x\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}u, \quad y = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}x

💡 【SOLUTION】 详细解题步骤

Step 1：计算能控性判别矩阵并求秩 系统维数 n=3n = 3。输入向量为 b=[110]b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}。 计算各列：

Ab=[00−110−301−3][110]=[011]Ab = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} A2b=A(Ab)=[00−110−301−3][011]=[−1−3−2]A^2b = A(Ab) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}

构成能控性矩阵：

M=[bAbA2b]=[10−111−301−2]M = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

对 MM 进行初等行变换：

[10−111−301−2]→r2−r1[10−101−201−2]→r3−r2[10−101−2000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 - r_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

可见 rank⁡M=2=n1<3\operatorname{rank} M = 2 = n_1 < 3。系统不完全能控，能控子系统维数为 22，不能控子系统维数为 11。

Step 2：构造坐标变换矩阵 RcR_c 及其逆矩阵 取 MM 的前两列作为 RcR_c 的前两列，并补充与前两列线性无关的第三列基向量 R3=[001]R_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}：

Rc=[100110011]R_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

验证行列式：det⁡(Rc)=1⋅1⋅1=1≠0\det(R_c) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0。 求逆矩阵 Rc−1R_c^{-1}：

Rc−1=[100−1101−11]R_c^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型系统矩阵

A^=Rc−1ARc=[100−1101−11][00−110−301−3][100110011]=[0−1−11−2−200−1]\hat{A} = R_c^{-1} A R_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} B^=Rc−1b=[100−1101−11][110]=[100]\hat{B} = R_c^{-1} b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} C^=CRc=[01−2][100110011]=[1−1−2]\hat{C} = C R_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}

Step 4：写出子系统解耦表达式

  • 变换后的全维状态空间方程： x^˙=[0−1−11−2−200−1]x^+[100]u,y=[1−1−2]x^\dot{\hat{x}} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \hat{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \end{bmatrix} \hat{x}
  • 能控子系统： {x^˙1=[0−11−2]x^1+[−1−2]x^2+[10]uyc=[1−1]x^1\begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \hat{x}_1 + \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \hat{x}_2 + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u \\ y_c = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \hat{x}_1 \end{cases}
  • 不能控子系统： {x^˙2=−x^2ycˉ=−2x^2\begin{cases} \dot{\hat{x}}_2 = -\hat{x}_2 \\ y_{\bar{c}} = -2\hat{x}_2 \end{cases}

五、重要代数性质与考研考点归纳

💡 【THEOREM】 能控性分解的核心代数性质

  1. 特征值与极点分布：
    系统矩阵 AA 的特征值谱满足： det⁡(sI−A)=det⁡(sI−A^11)⋅det⁡(sI−A^22)\det(sI - A) = \det(sI - \hat{A}_{11}) \cdot \det(sI - \hat{A}_{22}) 原系统的极点由能控子系统极点（A^11\hat{A}_{11} 的特征值）与不能控子系统极点（A^22\hat{A}_{22} 的特征值）组成。
  2. 传递函数与零极点对消：
    传递函数矩阵仅由能控子系统决定： G(s)=C(sI−A)−1B=C^1(sI−A^11)−1B^1G(s) = C(sI - A)^{-1}B = \hat{C}_1 (sI - \hat{A}_{11})^{-1} \hat{B}_1 不能控子系统的特征值在传递函数 G(s)G(s) 中必然被分子零点完全相消，对外表现为不可控模态。

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