8.5.7 对偶关系与对偶原理

一、核心考点与理论精要

1. 对偶系统的定义

💡 【定义与概念】 对偶系统（Dual System）

设有连续线性定常系统 $\Sigma_1$：

$$\Sigma_1: \begin{cases} \dot{x}_1(t) = A_1 x_1(t) + B_1 u_1(t) \\ y_1(t) = C_1 x_1(t) \end{cases}$$

其中 $x_1 \in \mathbb{R}^n, u_1 \in \mathbb{R}^p, y_1 \in \mathbb{R}^q$。

另一个连续线性定常系统 $\Sigma_2$：

$$\Sigma_2: \begin{cases} \dot{x}_2(t) = A_2 x_2(t) + B_2 u_2(t) \\ y_2(t) = C_2 x_2(t) \end{cases}$$

其中 $x_2 \in \mathbb{R}^n, u_2 \in \mathbb{R}^q, y_2 \in \mathbb{R}^p$。

定义： 若两系统的参数矩阵满足如下转置对应关系：

$$A_2 = A_1^T, \quad B_2 = C_1^T, \quad C_2 = B_1^T$$

则称系统 $\Sigma_1$ 与系统 $\Sigma_2$ 互为对偶系统，简记为 $\Sigma_2 = \Sigma_1^*$。

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2. 对偶系统的三大重要性质

💡 【THEOREM】 对偶系统核心性质定理

设系统 $\Sigma_1(A_1, B_1, C_1)$ 与 $\Sigma_2(A_1^T, C_1^T, B_1^T)$ 互为对偶系统：

1. 特征多项式与特征值完全相同：

   $$\det(sI - A_2) = \det(sI - A_1^T) = \det((sI - A_1)^T) = \det(sI - A_1)$$

   因此两系统具有完全相同的特征方程、特征值和自由运动模态，系统的稳定性完全一致。

2. 传递函数矩阵互为转置：

   $$G_2(s) = C_2 (sI - A_2)^{-1} B_2 = B_1^T (sI - A_1^T)^{-1} C_1^T = \left[ C_1 (sI - A_1)^{-1} B_1 \right]^T = G_1^T(s)$$

   对于单输入单输出（SISO）系统，标量的转置等于其自身，因此 互为对偶的 SISO 系统传递函数完全相同（$G_2(s) = G_1(s)$）。

3. Kalman 对偶原理（Duality Principle）：

   • 系统 $\Sigma_1$ 状态完全能控 $\iff$ 其对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能观；
   • 系统 $\Sigma_1$ 状态完全能观 $\iff$ 其对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能控。

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3. 对偶原理的严格数学证明

💡 【核心公式】 对偶原理代数证明

构造系统 $\Sigma_1$ 的状态能控性判别矩阵 $Q_c(\Sigma_1)$：

$$Q_c(\Sigma_1) = \begin{bmatrix} B_1 & A_1 B_1 & A_1^2 B_1 & \cdots & A_1^{n-1} B_1 \end{bmatrix}$$

构造对偶系统 $\Sigma_2$ 的状态能观性判别矩阵 $Q_o(\Sigma_2)$：

$$Q_o(\Sigma_2) = \begin{bmatrix} C_2 \\ C_2 A_2 \\ C_2 A_2^2 \\ \vdots \\ C_2 A_2^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1^T \\ B_1^T A_1^T \\ B_1^T (A_1^T)^2 \\ \vdots \\ B_1^T (A_1^T)^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1^T \\ (A_1 B_1)^T \\ (A_1^2 B_1)^T \\ \vdots \\ (A_1^{n-1} B_1)^T \end{bmatrix} = Q_c(\Sigma_1)^T$$

由于矩阵转置不改变矩阵的秩，故：

$$\text{rank}(Q_o(\Sigma_2)) = \text{rank}(Q_c(\Sigma_1)^T) = \text{rank}(Q_c(\Sigma_1))$$

因此，$\text{rank}(Q_c(\Sigma_1)) = n \iff \text{rank}(Q_o(\Sigma_2)) = n$。同理可证能观性与能控性的对偶等价。

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二、标准解题模型与计算步骤

💡 【METHOD】 对偶原理在应试中的两大核心应用

1. 能观性判定转化为能控性判定：
   • 当计算 $Q_o$ 纵向矩阵行化简较繁琐时，可先写出对偶系统 $(A^T, C^T)$，计算横向的能控性矩阵 $M^* = \begin{bmatrix} C^T & A^T C^T & \cdots \end{bmatrix}$ 求秩。
2. 系统结构分解与控制器/观测器设计互化：
   • 能观性结构分解可以通过对对偶系统进行能控性结构分解，再将变换矩阵转置求得；
   • 状态观测器反馈增益矩阵 $H$ 的极点配置算法与状态反馈控制器增益矩阵 $K$ 的极点配置算法互为对偶。

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三、经典例题与真题精析

例题 1：对偶系统的构建与性质验证

💡 【PROBLEM】

已知连续定常系统 $\Sigma_1$ 为：

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x$$

(1) 写出其对偶系统 $\Sigma_2$ 的状态空间表达式； (2) 分别计算两系统的传递函数，验证 $G_2(s) = G_1(s)$； (3) 分别判定 $\Sigma_1$ 的能控能观性，并根据对偶原理说明 $\Sigma_2$ 的能控能观性。

💡 【SOLUTION】 规范解答

解：

(1) 构建对偶系统 $\Sigma_2$ 依据对偶关系 $A_2 = A_1^T, B_2 = C_1^T, C_2 = B_1^T$：

$$A_2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}, \quad B_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad C_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$$

对偶系统表达式为：

$$\dot{x}_2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} x_2 + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u_2, \quad y_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} x_2$$

(2) 传递函数计算与验证

• 对于系统 $\Sigma_1$： $$(sI - A_1)^{-1} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s + 3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}$$ $$G_1(s) = C_1 (sI - A_1)^{-1} B_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$ $$= \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{s + 5}{s^2 + 3s + 2}$$
• 对于对偶系统 $\Sigma_2$： $$(sI - A_2)^{-1} = \begin{bmatrix} s & 2 \\ -1 & s + 3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & -2 \\ 1 & s \end{bmatrix}$$ $$G_2(s) = C_2 (sI - A_2)^{-1} B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & -2 \\ 1 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$= \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s + 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{(s + 3) + 2}{s^2 + 3s + 2} = \frac{s + 5}{s^2 + 3s + 2}$$ 显然 $G_2(s) = G_1(s)$，性质成立！

(3) 能控能观性判别与对偶验证

• $\Sigma_1$ 的能控性与能观性：
  • $Q_c(\Sigma_1) = \begin{bmatrix} B_1 & A_1 B_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -8 \end{bmatrix}, \det(Q_c) = -8 - 4 = -12 \neq 0 \implies$ 完全能控；
  • $Q_o(\Sigma_1) = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_1 A_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \det(Q_o) = 1 \neq 0 \implies$ 完全能观。
• 由对偶原理推导 $\Sigma_2$：
  • 因为 $\Sigma_1$ 完全能控 $\implies$ 对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能观；
  • 因为 $\Sigma_1$ 完全能观 $\implies$ 对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能控。

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四、易错陷阱与避坑指南

💡 【PITFALL】 考场三大易错警示

1. 对偶变换转置遗漏：
   • 构造对偶系统时，必须将 $A$ 矩阵转置（$A_2 = A_1^T$），$B$ 与 $C$ 互换并转置（$B_2 = C_1^T, C_2 = B_1^T$）。常有考生只互换 $B, C$ 而忘记加转置符号 $T$。
2. MIMO 系统传递函数转置问题：
   • 对于多输入多输出（MIMO）系统，对偶系统的传递函数矩阵是原系统传递函数矩阵的转置 $G_2(s) = G_1^T(s)$，维数由 $q \times p$ 变为 $p \times q$，并非直接相等。
3. 对偶原理与对消现象的对称性：
   • 若原系统 $\Sigma_1$ 存在不可控模态 $\lambda_0$，则对偶系统 $\Sigma_2$ 中 $\lambda_0$ 必然转变为不可观模态；
   • 若原系统 $\Sigma_1$ 存在不可观模态 $\lambda_1$，则对偶系统 $\Sigma_2$ 中 $\lambda_1$ 必然转变为不可控模态。