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816 控制理论攻坚

8.3.3 线性变换：变为约旦阵，变为对角阵

2.2k words 9 min read

当系统矩阵 $A$ 的特征方程没有重根（即具有 $n$ 个互不相同的特征值）时，系统必可通过线性非奇异坐标变换化为对角标准型（Diagonal Canonical Form），使各状态变量之间实现完全解耦。

8.3.3 线性变换：变为约旦阵，变为对角阵

一、变为对角标准型（特征值无重根）

当系统矩阵 AA 的特征方程没有重根（即具有 nn 个互不相同的特征值）时，系统必可通过线性非奇异坐标变换化为对角标准型（Diagonal Canonical Form），使各状态变量之间实现完全解耦。

1. 情况一：AA 阵为一般任意形式

💡 【THEOREM】 对角化定理（互异特征值）

设 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 具有 nn 个互不相同的特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n，对应的特征矢量分别为 P1,P2,⋯ ,PnP_1, P_2, \cdots, P_n（满足 APi=λiPiAP_i = \lambda_i P_i）。 构造非奇异坐标变换矩阵：

T=[P1P2⋯Pn]T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & \cdots & P_n \end{bmatrix}

则经坐标变换 x=Tzx = Tz 后，系统矩阵转化为对角阵：

Λ=T−1AT=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn]\Lambda = T^{-1}AT = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}

变换后的系统状态空间表达式为：

{z˙=Λz+Bˉuy=Cˉz+Du其中 Bˉ=T−1B,  Cˉ=CT\begin{cases} \dot{z} = \Lambda z + \bar{B}u \\ y = \bar{C}z + Du \end{cases} \quad \text{其中 } \bar{B} = T^{-1}B, \; \bar{C} = CT

💡 【PROBLEM】 例题 1：一般矩阵化为对角型

试将下列状态空间表达式变换为对角型：

x˙=[01−1−6−116−6−115]x+[001]u,y=[100]x\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -6 & -11 & 6 \\ -6 & -11 & 5 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}x

💡 【SOLUTION】 解

Step 1：求 AA 的特征值与特征向量

计算特征方程：

∣λI−A∣=(λ+1)(λ+2)(λ+3)=0  ⟹  λ1=−1,  λ2=−2,  λ3=−3|\lambda I - A| = (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0 \implies \lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2, \; \lambda_3 = -3

分别求解 (λiI−A)Pi=0( \lambda_i I - A ) P_i = 0，求得各特征值对应的特征矢量为：

P1=[101],P2=[124],P3=[169]P_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad P_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad P_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}

Step 2：构造变换矩阵 TT 并求逆矩阵 T−1T^{-1}

T=[P1P2P3]=[111026149]T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & P_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

行列式 det⁡T=1(18−24)+1(6−2)=−6+4=−2≠0\det T = 1(18 - 24) + 1(6 - 2) = -6 + 4 = -2 \neq 0。 伴随矩阵法求逆得：

T−1=[352−2−3−43132−1]T^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & \frac{5}{2} & -2 \\ -3 & -4 & 3 \\ 1 & \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}

Step 3：计算变换后的系统各矩阵

Λ=T−1AT=[λ1000λ2000λ3]=[−1000−2000−3]\Lambda = T^{-1}AT = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} Bˉ=T−1B=[352−2−3−43132−1][001]=[−23−1]\bar{B} = T^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 & \frac{5}{2} & -2 \\ -3 & -4 & 3 \\ 1 & \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} Cˉ=CT=[100][111026149]=[111]\bar{C} = CT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Step 4：写出对角型状态空间表达式

{[z˙1z˙2z˙3]=[−1000−2000−3][z1z2z3]+[−23−1]uy=[111][z1z2z3]\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2 \\ \dot{z}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} \end{cases}

2. 情况二：AA 阵为能控标准型（友元阵/伴随型）

💡 【核心公式】 范德蒙德矩阵变换法（无重根）

当系统矩阵 AA 本身已经为能控标准型：

A=[010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}

且其特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n 互不相同时，特征向量矩阵恰好构成范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）：

T=[11⋯1λ1λ2⋯λnλ12λ22⋯λn2⋮⋮⋱⋮λ1n−1λ2n−1⋯λnn−1]T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}

💡 【技巧与方法】 范德蒙德矩阵的由来与详细推导

关键前提：该性质**仅在系统矩阵 AA 为能控标准型（友矩阵）**时成立。一般任意矩阵 AA 不满足此递推关系。

详细推导： 设特征值 λi\lambda_i 对应的特征向量为 Pi=[p1ip2i⋯pni]TP_i = \begin{bmatrix} p_{1i} & p_{2i} & \cdots & p_{ni} \end{bmatrix}^T，由特征向量定义 APi=λiPiAP_i = \lambda_i P_i：

[010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1][p1ip2ip3i⋮pni]=λi[p1ip2ip3i⋮pni]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{1i} \\ p_{2i} \\ p_{3i} \\ \vdots \\ p_{ni} \end{bmatrix} = \lambda_i \begin{bmatrix} p_{1i} \\ p_{2i} \\ p_{3i} \\ \vdots \\ p_{ni} \end{bmatrix}

将矩阵逐行展开对比两端：

  • 第 1 行：p2i=λip1ip_{2i} = \lambda_i p_{1i}
  • 第 2 行：p3i=λip2i=λi2p1ip_{3i} = \lambda_i p_{2i} = \lambda_i^2 p_{1i}
  • ⋯\cdots
  • 第 n−1n-1 行：pni=λipn−1,i=λin−1p1ip_{ni} = \lambda_i p_{n-1, i} = \lambda_i^{n-1} p_{1i}
  • 第 nn 行：−a0p1i−a1p2i−⋯−an−1pni=λipni  ⟹  (λin+an−1λin−1+⋯+a0)p1i=0-a_0 p_{1i} - a_1 p_{2i} - \cdots - a_{n-1} p_{ni} = \lambda_i p_{ni} \implies (\lambda_i^n + a_{n-1}\lambda_i^{n-1} + \cdots + a_0) p_{1i} = 0 （因 λi\lambda_i 是特征方程的根，最后一行自动满足恒等式）。

故自由未知量仅有 p1ip_{1i} 一个，取 p1i=1p_{1i} = 1，则第 ii 个特征向量天然为 Pi=[1λiλi2⋯λin−1]TP_i = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_i & \lambda_i^2 & \cdots & \lambda_i^{n-1} \end{bmatrix}^T。将各列拼合即得到范德蒙德矩阵！

💡 【PROBLEM】 例题 2：能控标准型化为对角型

系统状态空间表达式为：

[x˙1x˙2x˙3]=[010001−6−11−6][x1x2x3]+[006]u,y=[100][x1x2x3]\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}

试变换为对角型。

💡 【SOLUTION】 解

Step 1：求系统特征值

∣λI−A∣=∣λ−100λ−1611λ+6∣=λ3+6λ2+11λ+6=(λ+1)(λ+2)(λ+3)=0|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 6 & 11 & \lambda + 6 \end{vmatrix} = \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0

特征根为：λ1=−1,  λ2=−2,  λ3=−3\lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -2, \; \lambda_3 = -3。

Step 2：直接写出范德蒙德变换矩阵 PP 及其逆矩阵 P−1P^{-1}

P=[111λ1λ2λ3λ12λ22λ32]=[111−1−2−3149]P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

计算求逆：

P−1=[32.50.5−3−4−111.50.5]P^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2.5 & 0.5 \\ -3 & -4 & -1 \\ 1 & 1.5 & 0.5 \end{bmatrix}

Step 3：计算变换后的矩阵

Aˉ=P−1AP=[−1000−2000−3]\bar{A} = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} Bˉ=P−1B=[32.50.5−3−4−111.50.5][006]=[3−63]\bar{B} = P^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 & 2.5 & 0.5 \\ -3 & -4 & -1 \\ 1 & 1.5 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{bmatrix} Cˉ=CP=[100][111−1−2−3149]=[111]\bar{C} = CP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Step 4：写出对角标准型

{[xˉ˙1xˉ˙2xˉ˙3]=[−1000−2000−3][xˉ1xˉ2xˉ3]+[3−63]uy=[111][xˉ1xˉ2xˉ3]\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot{\bar{x}}_1 \\ \dot{\bar{x}}_2 \\ \dot{\bar{x}}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \\ \bar{x}_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 3 \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \\ \bar{x}_3 \end{bmatrix} \end{cases}

二、变为约旦标准型（特征值有重根）

当系统矩阵 AA 存在重特征值且线性无关的特征向量个数不足时，AA 无法相似对角化，只能化为约旦标准型（Jordan Canonical Form）。

1. 情况一：AA 阵为任意形式（广义特征矢量链法）

💡 【定义与概念】 约旦块（Jordan Block）与约旦阵

约旦标准型 JJ 是由若干个约旦块构成的分块对角阵：

J=[J1(λ1)0J2(λ2)⋱0Jk(λk)]J = \begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & & & 0 \\ & J_2(\lambda_2) & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & J_k(\lambda_k) \end{bmatrix}

其中每个 q×qq \times q 阶约旦块的形式为（主对角线上为特征值 λi\lambda_i，第一上副对角线上全为 11）：

Ji(λi)=[λi10⋯00λi1⋯0⋮⋮⋱⋱⋮00⋯λi100⋯0λi]q×qJ_i(\lambda_i) = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}_{q \times q}

💡 【METHOD】 广义特征矢量链构造算法

设矩阵 AA 的特征值 λ1\lambda_1 具有 qq 重重根，其余 (n−q)(n-q) 个为互异单根。 变换矩阵构造为：

T=[P1P2⋯PqPq+1⋯Pn]T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & \cdots & P_q & P_{q+1} & \cdots & P_n \end{bmatrix}

针对 qq 重重根 λ1\lambda_1，建立广义特征矢量链（Jordan Chain）：

{(A−λ1I)P1=0⟺AP1=λ1P1(P1 为普通特征向量)(A−λ1I)P2=P1⟺AP2=λ1P2+P1(P2 为 1 阶广义特征向量)(A−λ1I)P3=P2⟺AP3=λ1P3+P2(P3 为 2 阶广义特征向量)⋮(A−λ1I)Pq=Pq−1⟺APq=λ1Pq+Pq−1(Pq 为 q−1 阶广义特征向量)\begin{cases} (A - \lambda_1 I)P_1 = 0 &\Longleftrightarrow AP_1 = \lambda_1 P_1 \quad (P_1 \text{ 为普通特征向量}) \\ (A - \lambda_1 I)P_2 = P_1 &\Longleftrightarrow AP_2 = \lambda_1 P_2 + P_1 \quad (P_2 \text{ 为 1 阶广义特征向量}) \\ (A - \lambda_1 I)P_3 = P_2 &\Longleftrightarrow AP_3 = \lambda_1 P_3 + P_2 \quad (P_3 \text{ 为 2 阶广义特征向量}) \\ \quad \vdots \\ (A - \lambda_1 I)P_q = P_{q-1} &\Longleftrightarrow AP_q = \lambda_1 P_q + P_{q-1} \quad (P_q \text{ 为 } q-1 \text{ 阶广义特征向量}) \end{cases}

对其余互异单根 λj\lambda_j（j=q+1,⋯ ,nj = q+1, \cdots, n），按常规方法求解普通特征向量 (A−λjI)Pj=0(A - \lambda_j I)P_j = 0。

💡 【PROBLEM】 例题 3：含二重重根矩阵化为约旦型

试将下列状态空间表达式化为约旦型：

x˙=[010001230]x+[001]u,y=[100]x\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}x

💡 【SOLUTION】 解

Step 1：求系统特征值

∣λI−A∣=∣λ−100λ−1−2−3λ∣=λ3−3λ−2=0|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & -3 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 - 3\lambda - 2 = 0

因式分解得：

(λ+1)2(λ−2)=0  ⟹  λ1,2=−1（二重根）,λ3=2（单根）(\lambda + 1)^2(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda_{1,2} = -1 \text{（二重根）}, \quad \lambda_3 = 2 \text{（单根）}

Step 2：求对应于 λ1=−1\lambda_1 = -1 的特征矢量 P1P_1

由 (A−λ1I)P1=0  ⟺  (A+I)P1=0(A - \lambda_1 I)P_1 = 0 \iff (A + I)P_1 = 0：

[110011231][p11p21p31]=[000]  ⟹  {p11+p21=0  ⟹  p21=−p11p21+p31=0  ⟹  p31=−p21=p11\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} p_{11} + p_{21} = 0 \implies p_{21} = -p_{11} \\ p_{21} + p_{31} = 0 \implies p_{31} = -p_{21} = p_{11} \end{cases}

令 p11=1p_{11} = 1，得：

P1=[1−11]P_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Step 3：求对应于 λ2=−1\lambda_2 = -1 的广义特征矢量 P2P_2

由广义特征链方程 (A−λ1I)P2=P1  ⟺  (A+I)P2=P1(A - \lambda_1 I)P_2 = P_1 \iff (A + I)P_2 = P_1：

[110011231][p12p22p32]=[1−11]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

展开方程组：

{p12+p22=1p22+p32=−12p12+3p22+p32=1\begin{cases} p_{12} + p_{22} = 1 \\ p_{22} + p_{32} = -1 \\ 2p_{12} + 3p_{22} + p_{32} = 1 \end{cases}

取自由未知量 p22=0p_{22} = 0，解得 p12=1,  p32=−1p_{12} = 1, \; p_{32} = -1。 故广义特征矢量为：

P2=[10−1]P_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}

Step 4：求对应于单根 λ3=2\lambda_3 = 2 的特征矢量 P3P_3

由 (A−2I)P3=0(A - 2I)P_3 = 0：

[−2100−2123−2][p13p23p33]=[000]  ⟹  {p23=2p13p33=2p23=4p13\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} p_{23} = 2p_{13} \\ p_{33} = 2p_{23} = 4p_{13} \end{cases}

取 p13=1p_{13} = 1，得：

P3=[124]P_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}

Step 5：构造变换矩阵 TT 并求逆

T=[P1P2P3]=[111−1021−14]T = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 & P_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}

行列式 det⁡T=1(0+2)−1(−4−2)+1(1−0)=2+6+1=9\det T = 1(0 + 2) - 1(-4 - 2) + 1(1 - 0) = 2 + 6 + 1 = 9。 伴随矩阵求逆得：

T−1=19[2−5263−3121]T^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 2 & -5 & 2 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 6：计算各变换矩阵并写出约旦型表达式

J=T−1AT=[−1100−10002]J = T^{-1}AT = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} Bˉ=T−1B=19[2−5263−3121][001]=[29−1319]\bar{B} = T^{-1}B = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 2 & -5 & 2 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{9} \end{bmatrix} Cˉ=CT=[100][111−1021−14]=[111]\bar{C} = CT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

最终得到约旦标准型：

{[z˙1z˙2z˙3]=[−1100−10002][z1z2z3]+[29−1319]uy=[111][z1z2z3]\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2 \\ \dot{z}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{2}{9} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{9} \end{bmatrix}u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} \end{cases}

2. 情况二：AA 阵为能控标准型（广义范德蒙德矩阵导数法）

💡 【核心公式】 广义范德蒙德变换矩阵（重根导数法）

若矩阵 AA 为伴随/能控标准型矩阵，且特征值 λ1\lambda_1 为 qq 重重根，其余为互异单根：

A=[010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}

则对应的变换矩阵可通过对范德蒙德基向量关于 λ1\lambda_1 求逐阶导数构造（以三重根 λ1\lambda_1 为例）：

T=[100⋯1⋯1λ110⋯λ4⋯λnλ122λ11⋯λ42⋯λn2⋮⋮⋮⋮⋮λ1n−1ddλ1(λ1n−1)12!d2dλ12(λ1n−1)⋯λ4n−1⋯λnn−1]T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & 1 & 0 & \cdots & \lambda_4 & \cdots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & 1 & \cdots & \lambda_4^2 & \cdots & \lambda_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \frac{d}{d\lambda_1}(\lambda_1^{n-1}) & \frac{1}{2!}\frac{d^2}{d\lambda_1^2}(\lambda_1^{n-1}) & \cdots & \lambda_4^{n-1} & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}

💡 【技巧与方法】 广义范德蒙德导数法核心规律速查表

设系统为 nn 阶能控标准型，基础范德蒙德向量函数为 v(λ)=[1λλ2⋯λn−1]Tv(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & \lambda & \lambda^2 & \cdots & \lambda^{n-1} \end{bmatrix}^T：

特征值重数对应的列向量构造公式对应生成的约旦块
单根 λi\lambda_iPi=v(λi)P_i = v(\lambda_i)1×11\times 1 单元素 [λi][\lambda_i]
二重根 λ1\lambda_1P1=v(λ1)P_1 = v(\lambda_1)
P2=ddλ1v(λ1)=[012λ13λ12⋯]TP_2 = \frac{d}{d\lambda_1}v(\lambda_1) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\lambda_1 & 3\lambda_1^2 & \cdots \end{bmatrix}^T		2×22\times 2 约旦块 [λ110λ1]\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_1 \end{bmatrix}
三重根 λ1\lambda_1P1=v(λ1)P_1 = v(\lambda_1)
P2=ddλ1v(λ1)P_2 = \frac{d}{d\lambda_1}v(\lambda_1)
P3=12!d2dλ12v(λ1)=[0013λ1⋯]TP_3 = \frac{1}{2!}\frac{d^2}{d\lambda_1^2}v(\lambda_1) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 3\lambda_1 & \cdots \end{bmatrix}^T		3×33\times 3 约旦块 [λ1100λ1100λ1]\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix}

💡 重要提醒：更高阶重根求导时，第 kk 阶广义向量务必除以阶乘系数 1k!\frac{1}{k!}（如 2 阶广义向量除以 2!=22! = 2，3 阶广义向量除以 3!=63! = 6），否则约旦块上方副对角线上的元素无法归一化为 11。

💡 【PROBLEM】 例题 4：伴随矩阵三重根化为约旦型

已知系统矩阵为能控标准型：

A=[010001−1−3−3]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & -3 \end{bmatrix}

试将系统矩阵化为约旦型。

💡 【SOLUTION】 解

Step 1：求特征值

∣λI−A∣=∣λ−100λ−113λ+3∣=λ3+3λ2+3λ+1=(λ+1)3=0|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 1 & 3 & \lambda + 3 \end{vmatrix} = \lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 1 = (\lambda + 1)^3 = 0

得到三重重根：λ1=λ2=λ3=−1\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = -1。

Step 2：构造广义范德蒙德变换矩阵 QQ 及求逆

Q=[100λ110λ122λ11]→λ1=−1Q=[100−1101−21]Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \lambda_1 & 1 & 0 \\ \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\lambda_1 = -1} Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}

下三角矩阵求逆：

Q−1=[100110121]Q^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算变换后的约旦阵 JJ

J=Q−1AQ=[100110121][010001−1−3−3][100−1101−21]=[010011−1−1−1][100−1101−21]=[−1100−1100−1]\begin{aligned} J = Q^{-1}AQ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}

成功化为一个 3×33 \times 3 阶约旦块！

三、考研核心总结与易错避坑

💡 【技巧与方法】 变换矩阵的非唯一性与标准型本质

  1. 非唯一性：变换矩阵中每个特征矢量乘上任意非零常数，或者广义特征向量选取不同的特解，求得的 TT 均不同。但最终得到的对角阵（或约旦阵）的主对角元素及其约旦块结构是本质唯一的（至多差一个对角块的排列次序）。
  2. 对角/约旦标准型的核心应用：对角标准型和约旦标准型是应用 Gilbert 能控能观性判据 的直接前置条件！

💡 【PITFALL】 常见易错陷阱清单

  1. 特征向量次序颠倒：T=[P1,P2,P3]T = [P_1, P_2, P_3] 中列向量的次序必须与对角阵 Λ=diag⁡(λ1,λ2,λ3)\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) 中的特征值次序严格一致。
  2. 广义特征向量链的方向：构造方程为 (A−λI)P2=P1(A - \lambda I)P_2 = P_1，而不是 (A−λI)P1=P2(A - \lambda I)P_1 = P_2！顺序反了会导致约旦块中 11 的位置出现在下副对角线。
  3. 矩阵求逆计算失误：三阶伴随矩阵求逆注意代数余子式的转置位置与正负号。

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