8.2.6 随堂练习：状态空间描述的模拟结构图

练习题 1：由传递函数绘制对角型模拟结构图（无重极点）

💡 【PROBLEM】 例 1（对角标准型模拟结构图绘制）

已知某二阶连续定常系统的传递函数为：

$$G(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 6s + 5}$$

试求：

1. 将传递函数展开为部分分式，求出系统特征值与留数；
2. 分别绘制**形式一（增益后置 / 观测权值分配）与形式二（增益前置 / 控制权值分配）**的对角标准型模拟结构图，并在图中标明状态变量；
3. 写出两种形式对应的状态空间表达式 $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C})$。

💡 【SOLUTION】 规范解析

1. 部分分式展开（求极点与留数）

分母因式分解为 $s^2 + 6s + 5 = (s + 1)(s + 5)$。 设部分分式展开形式为：

$$G(s) = \frac{c_1}{s + 1} + \frac{c_2}{s + 5}$$

应用留数定理计算：

• $c_1 = \left.(s + 1)G(s)\right|_{s = -1} = \left.\frac{2s + 1}{s + 5}\right|_{s = -1} = \frac{-1}{4} = -0.25$
• $c_2 = \left.(s + 5)G(s)\right|_{s = -5} = \left.\frac{2s + 1}{s + 1}\right|_{s = -5} = \frac{-9}{-4} = 2.25$

故传递函数分解为：

$$G(s) = \frac{-0.25}{s + 1} + \frac{2.25}{s + 5}$$

系统特征值（极点）为 $\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = -5$。

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2. 形式一（增益后置 / 观测权值分配）

• 拓扑绘制步骤：
  1. 设置两条完全平行独立的一阶积分通道，积分器输入端分别为 $\dot{x}_1, \dot{x}_2$，输出端分别为状态变量 $x_1, x_2$；
  2. 极点反馈：各通道构建局部负反馈回路，增益分别为 $1$ 与 $5$；
  3. 控制输入：输入信号 $u(t)$ 均等分配注入两个通道的输入端加法器（$b_1 = 1, b_2 = 1$）；
  4. 观测输出：各状态变量经留数增益 $c_1 = -0.25$（进入加法器负号端）与 $c_2 = 2.25$ 加权汇入输出加法器得到 $y$。
• 状态空间表达式： $$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} -0.25 & 2.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
• 绘制完成的模拟结构图：

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3. 形式二（增益前置 / 控制权值分配）

• 拓扑绘制步骤：
  1. 将留数系数 $-0.25$ 和 $2.25$ 前置分配给输入信号 $u(t)$，分别注入各通道积分器前端加法器；
  2. 各积分器输出状态变量 $x_1, x_2$ 直接无权（增益为 $1$）汇入输出加法器：$y = x_1 + x_2$。
• 状态空间表达式： $$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -0.25 \\ 2.25 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
• 绘制完成的模拟结构图：

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练习题 2：由传递函数绘制约旦型模拟结构图（含重极点）

💡 【PROBLEM】 例 2（约旦型模拟结构图绘制）

已知含二重极点的连续定常系统传递函数为：

$$G(s) = \frac{s^2 + 6s + 8}{(s + 1)^2 (s + 3)}$$

试求：

1. 将传递函数进行降幂部分分式展开；
2. 构建约旦串联链与状态变量，写出系统的约旦标准型状态空间表达式；
3. 绘制系统的约旦型模拟结构图。

💡 【SOLUTION】 规范解析

1. 部分分式降幂展开

系统包含二重极点 $\lambda = -1$ 与单极点 $\lambda = -3$。 设展开式为降幂排列形式：

$$G(s) = \frac{c_1}{(s + 1)^2} + \frac{c_2}{s + 1} + \frac{c_3}{s + 3}$$

展开系数计算：

• 二重极点最高次幂系数： $$c_1 = \left.(s + 1)^2 G(s)\right|_{s = -1} = \left.\frac{s^2 + 6s + 8}{s + 3}\right|_{s = -1} = \frac{1 - 6 + 8}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$
• 二重极点一次幂系数： $$c_2 = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left[(s + 1)^2 G(s)\right]\right|_{s = -1} = \left.\frac{(2s + 6)(s + 3) - (s^2 + 6s + 8)}{(s + 3)^2}\right|_{s = -1} = \frac{4 \times 2 - 3}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$$
• 单极点系数： $$c_3 = \left.(s + 3)G(s)\right|_{s = -3} = \left.\frac{s^2 + 6s + 8}{(s + 1)^2}\right|_{s = -3} = \frac{9 - 18 + 8}{(-2)^2} = -\frac{1}{4} = -0.25$$

故降幂展开式为：

$$G(s) = \frac{1.5}{(s + 1)^2} + \frac{1.25}{s + 1} - \frac{0.25}{s + 3}$$

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2. 构建约旦串联链与状态空间表达式

• 状态变量标定原则：
  1. 二重极点对应一个 $2 \times 2$ 约旦块，采用双积分器串联链：右侧积分器输出设为 $x_1$，左侧积分器输出设为 $x_2$；
  2. 串联耦合关系：$\dot{x}_1 = -x_1 + x_2$，$\dot{x}_2 = -x_2 + u$；
  3. 单极点独立通道：积分器输出设为 $x_3$，状态方程为 $\dot{x}_3 = -3x_3 + u$；
  4. 输出方程：按降幂系数综合 $y = 1.5 x_1 + 1.25 x_2 - 0.25 x_3$。
• 矩阵表达式： $$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1.5 & 1.25 & -0.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$$

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3. 绘制约旦型模拟结构图

• 绘制要领：
  1. 上方重极点链：输入信号 $u(t)$ 仅注入最左端积分器（$x_2$ 级）前端加法器；$x_2$ 的输出直连注入下一级（$x_1$ 级）前端加法器形成链式级联；两级积分器分别带有 $-1$ 局部负反馈；
  2. 下方独立支路：输入信号 $u(t)$ 注入 $x_3$ 级加法器，带 $-3$ 局部负反馈；
  3. 输出端汇聚：从 $x_1, x_2, x_3$ 分别引出增益 $1.5, 1.25, -0.25$（经 $0.25$ 比例放大器由负号端汇入）加法器合成总输出 $y$。
• 绘制完成的模拟结构图：

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练习题 3：由传递函数绘制能控型与能观型模拟结构图（含直通项）

💡 【PROBLEM】 例 3（能控型与能观型模拟结构图绘制及拓扑对比）

已知某三阶系统的传递函数（分子分母同阶）为：

$$G(s) = \frac{5s^3 + 20s^2 + 7}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5}$$

试求：

1. 采用长除法分离直接前传项 $d$，写出首一化严格真分式部分；
2. 分别绘制该系统的能控标准型与能观标准型模拟结构图；
3. 写出两者的状态空间表达式；
4. 对比并总结能控型与能观型在模拟结构图拓扑布局上的本质对偶差异。

💡 【SOLUTION】 规范解析

1. 长除法分离直接前传项

$$G(s) = \frac{5(s^3 + 2s^2 + 3s + 5) + 10s^2 - 15s - 18}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5} = 5 + \frac{10s^2 - 15s - 18}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5}$$

提取系统特征参数：

• 直接前传项：$d = b_3 = 5 \implies \boldsymbol{D} = [5]$；
• 分母特征多项式系数：$a_2 = 2,\ a_1 = 3,\ a_0 = 5$；
• 严格真分式分子系数：$\beta_2 = 10,\ \beta_1 = -15,\ \beta_0 = -18$。

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2. 能控标准型模拟结构图绘制与表达式

• 拓扑特征与绘制步骤：
  1. 直通串联积分器链：从右向左依次设积分器输出为 $x_1, x_2, x_3$（$\dot{x}_1 = x_2,\ \dot{x}_2 = x_3$）；
  2. 输入端总加法器反馈汇聚：各状态经分母系数 $a_0=5, a_1=3, a_2=2$ 汇聚为负反馈接回首端加法器：$\dot{x}_3 = -5x_1 - 3x_2 - 2x_3 + u$；
  3. 输出端加权综合：由各状态引出分子系数支路（$x_1 \to -18,\ x_2 \to -15,\ x_3 \to 10$）与输入直通项 $u \to 5$ 汇聚至输出加法器得到 $y$。
• 状态空间矩阵： $$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -3 & -2 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} -18 & -15 & 10 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{D} = [5]$$
• 绘制完成的模拟结构图：

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3. 能观标准型模拟结构图绘制与表达式

• 拓扑特征与绘制步骤：
  1. 分布式输入分配：输入 $u(t)$ 经分子系数 $\beta_0=-18, \beta_1=-15, \beta_2=10$ 分别注入各级加法器；
  2. 输出端状态多路负反馈：由末级状态 $x_3$ 经分母系数 $a_0=5, a_1=3, a_2=2$ 分布式负反馈回各级加法器；
  3. 状态级联：各级积分器之间嵌入加法器完成级联（中间耦合系数为 $-1$）；
  4. 输出合成：末级状态 $x_3$ 直接引出，叠加直通项 $5u$ 得到 $y = x_3 + 5u$。
• 状态空间矩阵： $$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 18 \\ 15 \\ 10 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{D} = [5]$$
• 绘制完成的模拟结构图：

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4. 核心拓扑特征总结表

特征维度	能控标准型拓扑	能观标准型拓扑
积分器链结构	积分器直接无缝串联	积分器之间嵌入各级加法器
反馈汇聚点	各状态负反馈总汇聚于输入端主加法器	由末级输出状态 $x_3$ 分布式反馈至各级加法器
输入信号 $u$ 分配	仅注入第一个积分器前端加法器（及直通项）	经分子系数加权分布式注入每个积分器前端加法器
输出综合方式	各状态变量经分子系数加权汇聚至输出加法器	直接由末级积分器引出（叠加直通项 $d\cdot u$）
直通项 $d\cdot u$	自输入 $u$ 经增益 $d$ 前传直连输出加法器	自输入 $u$ 经增益 $d$ 前传直连输出加法器

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